\(M\) द्रव्यमान का एक पिस्टन एक द्रव्यमान रहित स्प्रिंग से लटका हुआ है जिसका प्रत्यानयन बल नियम \(\mathrm{F}=-\mathrm{kx}^3\) है, जहाँ k उपयुक्त विमा का स्प्रिंग नियतांक है। पिस्टन ऊर्ध्वाधर कक्ष को दो भागों में विभाजित करता है, जिसमें निचला भाग ' \(n\) ' मोल आदर्श गैस से भरा है। कक्ष के निचले भाग में लगे एक तापन तंतु (नगण्य आयतन वाले) की सहायता से गैस पर समतापी रूप से (स्थिर तापमान T पर) एक बाह्य कार्य किया जाता है, जिससे पिस्टन \(\mathrm{L}_0\) ऊँचाई से \(\mathrm{L}_1\) ऊँचाई तक ऊपर जाता है, तंतु द्वारा दी गई कुल ऊर्जा कितनी है? (मान लीजिए कि गर्म करने से पहले स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई में है)

कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर
कुल आपूर्ति की गई ऊर्जा \(=\) गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा + स्प्रिंग स्थितिज ऊर्जा + गैस द्वारा किया गया कार्य
\(\begin{aligned}
& \operatorname{Mg} \quad\left(L_1-L_0\right)+\int_{L_0}^{L_1} k^3 d x+n R T \ell n \\
& {\left[\frac{L_1 \mathrm{~A}}{\mathrm{~L}_0 \mathrm{~A}}\right]+\mathrm{W}_{\mathrm{ext}}=0} \\
& \frac{\mathrm{~K}}{4}\left[\mathrm{x}^4\right]_{\mathrm{L}_0}^{\mathrm{L}_1}+\operatorname{Mg}\left(\mathrm{L}_1-\mathrm{L}_0\right)+\int_{\mathrm{L}_0}^{\mathrm{L}_1} k x^3 d x+n R T \ell n
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & {\left[\frac{L_1}{L_0}\right]+\mathrm{W}_{\mathrm{ext}}=0} \\ & \frac{\mathrm{k}}{4}\left(\mathrm{~L}_1^4-\mathrm{L}_0^4\right)+\operatorname{Mg} \quad\left(\mathrm{L}_1-\mathrm{L}_0\right)+\mathrm{nRT} \ell \mathrm{n} \\ & {\left[\frac{\mathrm{L}_1}{\mathrm{~L}_0}\right]+\mathrm{W}_{\mathrm{ext}}=0} \\ & \mathrm{~W}_{\mathrm{ext}}=\frac{\mathrm{k}}{4}\left(\mathrm{~L}_1^4-\mathrm{L}_0^4\right)+\operatorname{Mg}\left(\mathrm{L}_1-\mathrm{L}_0\right)+\mathrm{nRT} \ell \mathrm{n}\left[\frac{\mathrm{L}_1}{\mathrm{~L}_0}\right]\end{aligned}\)