एक त्रिज्या \(R\) तथा लम्बाई \(l\) के एक समान बेलन का उसके अभिलम्ब द्विभाजक के सापेक्ष जड़त्व आधूर्ण \(I\) है। जड़त्व आघूर्ण के निम्नतम मान के लिये अनुपात \(l / R\) क्या होगा?

\(10^{-4}\) मी. \(^2\) अनुप्रस्थ परिच्छेद क्षेत्रफल वाले एक धातु के पतले तार का प्रयोग करके \(30\) सेमी. त्रिज्या का एक छल्ला (रिंग) बनाया गया है। \(2 \pi \mathrm{C}\) के एक धन आवेश को छल्ले पर एक समान रूप से वितरित किया गया है तथा \(30 \mathrm{pC}\) का दूसरा धन आवेश छल्ले के केन्द्र पर रखा गया है। छल्ले में तनाव . . . . . . .\({N}\) है जबकि छल्ले का आकार अपरिवर्तित रहता है। (गुरूत्व का प्रभाव नगण्य मान कर) (यदि, \(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}=9 \times 10^9 \mathrm{SI}\) मात्रक)

द्रव्यमान \(M =4 \,m\) तथा \(\ell\) लम्बाई की एकसमान छड़ के केन्द्र पर धुराग्रस्त (pivoted) है । \(v\) गति से चलता हुआ \(m\) द्रव्यमान का एक कण, छड़ के लम्बे अक्ष से \(\theta=\frac{\pi}{4}\) कोण बनाता हुआ छड़ के एक सिरे से टकराता है और इससे चिपक जाता है। छड़-कण निकाय की टक्कर के बाद कोणीय गति होगी।

सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी \(R\) है। यदि सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी \(3\,R\) हो जाती है तो वर्ष की अवधि होगी :

एक चिकनी घिरनी से गुजरने वाले धातु तार से \(3\,kg\) तथा \(5 \,kg\) द्रव्यमान के दो ब्लॉक जोड़े गये है। धातु का भंजक प्रतिबल \(\frac{24}{\pi} \times 10^{2} \,N\,m ^{-2}\) है। तार की न्यूनतम त्रिज्या क्या है? (\(cm\) में) \(\left( g =10 \,ms ^{-2}\right.\) लीजिए \()\)

निम्नलिखित कथनों के अनुसार : \((1)\) किसी गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा घटती है, जब तापमान घटता है। \((2)\) नियत ताप पर दाब बढ़ने के साथ, किसी गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ती है। \((3)\) आयतन बढने के साथ, किसी गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा घटती है। \((4)\) नियत दाब पर तापमान में वृद्धि के साथ, किसी गैस का दाब बढ़ता है। \((5)\) तापमान में वृद्धि के साथ, गैस का आयतन घटता है। नीचे दिए गए विकल्पों में से, सही उत्तर चुनिए :

एलुमिनियम की चुम्बकीय प्रवत्ति (सुग्राहिता) का मान \(2.2 \times 10^{-5}\) है। यदि किसी धारावाही टोरायड के रिक्तस्थान में एलुमिनियम भर दिया जाए, तो चुम्बकीय क्षेत्र में होने वाली वद्धि की प्रतिशतता \(\frac{ X }{10^{4}}\) है। तब \(x\) का मान \(.....\) होगा।

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

यदि श्रेणी \({\left( {1\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {2\frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {3\frac{1}{5}} \right)^2} + {4^2} + \;\;.\;.\;.\;.\;,\) के प्रथम दस पदों का योग \(\frac{{16}}{5}\,m\) है, तो \(m\) बराबर है:

एक हाइड्रोजन समान परमाणु में, जब इलेक्ट्रॉन \(M\)-कक्षा से \(L\) - कक्षा में संक्रमण करता है, तो उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य \(\lambda\) है। यदि इलेक्ट्रॉन \(N\)-कक्षा से \(L\)-कक्षा में संक्रमण करे तो उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य ....... होगी।

माना \(\overrightarrow{ a }= a _1 \hat{ i }+ a _2 \hat{ j }+ a _3 \hat{ k }, a _{ i } > 0, i =1,2,3\) एक सदिश है जो निर्देशांक अक्षो \(OX , OY\) तथा \(OZ\) के साथ समान कोण बनाता है माना \(\vec{a}\) का सदिश \(3 \hat{ i }+4 \hat{ j }\) पर प्रक्षेप \(7\) है माना \(\overrightarrow{ a }\) के \(90^{\circ}\) से घूर्णन से \(\vec{b}\) सदिश प्राप्त होता है यदि \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(x\)-अक्ष समतलीय है तो सदिश \(\overrightarrow{ b }\) का \(3 \hat{ i }+4 \hat{ j }\) पर प्रक्षेप होगा

यदि \(\frac{ dy }{ dx }+\frac{3}{\cos ^{2} x } y =\frac{1}{\cos ^{2} x }, x \in\left(\frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)\) तथा \(y \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{3}\) है, तो \(y \left(-\frac{\pi}{4}\right)\) बराबर है 

एक रेखा जिसके दिक्-अनुपात \(1, -1, 2\) हैं, रेखाओं \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z+1}{3}\) और \(\dfrac{x+1}{-1} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z}{4}\) को क्रमशः बिंदुओं \(P\) और \(Q\) पर प्रतिच्छेद करती है। यदि रेखाखंड \(PQ\) की लंबाई \(\alpha\) है, तो \(225\alpha^2\) बराबर है: