दो ग्रहों के द्रव्यमान \(M\) तथा \(16 M\) और उनकी त्रिज्यायें क्रमशः \(a\) तथा \(2 a\) है। इन दों ग्रहों के केन्द्रों के बीच की दूरी \(10 a\) हैं बड़े ग्रह से छोटे ग्रह की ओर, \(m\) द्रव्यमान के एक पिण्ड को, उनके केन्द्रों को जोड़ने वाली दिशा में दागा जाता है। तो, छोटे ग्रह के पृष्ठ पर पहुंच पाने के लिये, उस पिण्ड के दांये जाने की न्यूनतम चाल होनी चाहिए ?

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सत्यापित हल

उत्तर और हल

सही उत्तर

(B) \(\frac{3}{2} \sqrt{\frac{5 GM }{ a }}\)

विस्तृत व्याख्या

\(\frac{G M}{x^{2}}=\frac{G(16 M)}{(10 a-x)^{2}}\)

\(\frac{1}{x}=\frac{4}{(10 a-x)} \quad \Rightarrow 4 x=10 a-x\)

\(x=2 a\) \(....(i)\)

\(COME\)

\(-\frac{ GMm }{8 a }-\frac{ G (16 M ) m }{2 a }+ KE\)

\(=-\frac{ GMm }{2 a }-\frac{ G (16 M ) m }{8 a }\)

\(KE = GMm \left[\frac{1}{8 a }+\frac{16}{2 a }-\frac{1}{2 a }-\frac{16}{8 a }\right]\)

\(KE = GMm \left[\frac{1+64-4-16}{8 a }\right]\)

\(\frac{1}{2} mv ^{2}= GMm \left[\frac{45}{8 a }\right]\)

\(V =\sqrt{\frac{90 GM }{8 a }}\)

\(V =\frac{3}{2} \sqrt{\frac{5 GM }{ a }}\)

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