दो ग्रह (गोले का आकार) जिसकी त्रिज्याएं क्रमशः \(R\) और \(2 R\) तथा द्रव्यमान \(M\) और \(9 M\) है और एक दूसरे के केन्द्र से जिनकी दूरी \(8 R\) (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) है। एक उपग्रह को जिसका द्रव्यमान \('m'\) है \('M'\) द्रव्यमान वाले ग्रह के पष्ठ से दूसरे ग्रह के केन्द्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। दूसरे ग्रह के पष्ठ तक पहुँचने के लिए, उपग्रह के लिए आवश्यक न्यूनतम चाल \('v'\) का मान \(\sqrt{\frac{ a }{7} \frac{ GM }{ R }}\) है यहाँ \('a'\) का मान \(.......\) होगा। [दिया है : दोनों ग्रह अपने स्थान पर स्थिर हैं]

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उत्तर और हल

सही उत्तर

(A) \(4\)

विस्तृत व्याख्या

Assume that at a distance x from the planet of mass M, the net gravitational field becomes zero.

\(\frac{G M}{x^{2}}=\frac{G 9 M}{(8 R-x)^{2}}\)

\(8 R-x=3 x\)

\(x=2 R\)

Apply conservation of energy and consider velocity at \(P\) is zero.

\(\frac{1}{2} m v^{2}-\frac{G M m}{R}-\frac{G 9 M m}{7 R}=0-\frac{G M m}{2 R}-\frac{G 9 M m}{6 R}\)

\(\frac{1}{2} v^{2}=\frac{2 G M}{7 R} \Rightarrow v=\sqrt{\frac{4}{7} \frac{G M}{R}}\)

\(a=4\)

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