यदि श्रेणी \(\log _{9^{1 / 2}}  x +\log _{9^{1 / 3}}  x +\log _{9^{1 / 4}} x +\ldots ., x >0\) के प्रथम \(21\) पदों का योग \(504\) है, तो \(x\) बराबर है

\(\left|\frac{120}{\pi^3} \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x\right|\) = ...........

\(f( x )=\frac{8^{2 x }-8^{-2 x }}{8^{2 x }+8^{-2 x }}, x \in(-1,1)\) का व्युत्क्रम फलन है

माना परवलय \(y ^{2}=4 x -20\) के बिन्दु \((6,2)\) पर स्पर्श रेखा \(L\) है। यदि \(L\), दीर्घवत्त \(\frac{ x ^{2}}{2}+\frac{ y ^{2}}{ b }=1\) की भी एक स्पर्श रेखा है, तो \(b\) का मान बराबर है

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

माना \([ x ], x\) के समान या उससे कम महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है, तो \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan \left(\pi \sin ^{2} x\right)+(|x|-\sin (x[x]))^{2}}{x^{2}}\)

यदि दो सदिश \(\vec{a}_{1}=x \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) तथा \(\vec{a}_{2}=\hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\) संरेख है, तो सदिश \(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\) के समान्तर एक सम्भव इकाई सदिश है

मान लीजिए \(a _1, \frac{ a _2}{2}, \frac{ a _3}{2^2}, \ldots ., \frac{ a _{10}}{2^9}\) एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) है जिसका सार्व अनुपात \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). यदि \(a _1+ a _2+\ldots+ a _{10}=62\), तो \(a _1\) = ........... है।

दो वत्तों जिनके समीकरण \(x ^{2}+ y ^{2}-10 x -10 y +41=0\) तथा \(x ^{2}+ y ^{2}-22 x -10 y +137=0\) हैं, के लिए सही कथन चुनिए 

माना \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) दो शून्येत्तर सदिश हैं जो एक दूसरे के लंबवत हैं तथा \(|\overrightarrow{ a }|=|\overrightarrow{ b }|\) है \(\mid\) यदि \(|\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b }|=|\overrightarrow{ a }|\) है, तो सदिशों \((\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }+(\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b }))\) तथा \(\overrightarrow{ a }\) के बीच का कोण बराबर है

\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3^{x}+3^{3-x}-12}{3^{-x / 2}-3^{1-x}}\) बराबर है

यदि \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1} x-\tan ^{-1} x}{3 x^{3}}=L\) है, तो \((6 L+1)\) का मान है

माना रेखा \(\mathrm{x}-2 \mathrm{y}-\mathrm{z}-5=0=\mathrm{x}+\mathrm{y}+3 \mathrm{z}-5\) से होकर जाने वाले तथा रेखा \(\mathrm{x}+\mathrm{y}+2 \mathrm{z}-7=0\) \(=2 x+3 y+z-2\) के समांतर समतल का समीकरण \(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}=65\) है। तो बिन्दु \((\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c})\) की समतल \(2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}+16=0\) से दूरी ____________ है।