यदि \(\frac{d y}{d x}=\frac{a x-b y+a}{b x+c y+a}\) (जहां \(a, b, c\) रिथरांक है), एक वृत्त को दर्शाता है जो बिन्दु \((2,5)\) से गुजरता है, तब बिन्दु \((11,6)\) की इस वृत्त से न्यूनतम दूरी होगी।

समीकरण \(\quad \sqrt{3}\left(\cos ^{2} x\right)=(\sqrt{3}-1) \cos x+1\), जबकि \(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\), के हलों की संख्या है ....... |

माना समतल \(x +2 y +2 z =16\) के सापेक्ष बिन्दु \(P (1,2,1)\) का दर्पण प्रतिबिम्ब \(Q\) है। माना समतल \(T\) बिन्दु \(Q\) गुजरता है तथा रेखा \(\overrightarrow{ r }=-\hat{ k }+\lambda(\hat{ i }+\hat{ j }+2 \hat{ k }), \lambda \in R\) को रखता है। तब निम्न में से कौनसा बिन्दु समतल \(T\) पर स्थित पर है?

बिन्दु \((-1,9,-16)\) की समतल \(2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-\mathrm{z}=5\) से रेखा \(\frac{\mathrm{x}+4}{3}=\frac{2-\mathrm{y}}{4}=\frac{\mathrm{z}-3}{12}\) के समांतर मापी दूरी है

यदि वक्र \(y =a x ^{2}+ bx + c , x \in R\), बिन्दु \((1,2)\) से होकर जाता है तथा मूल बिन्दु पर इसकी स्पर्श रेखा, \(y = x\) है, तो \(a , b , c\) के संभावित मान है

मान लीजिए ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसका लंबकेंद्र मूलबिंदु पर है और भुजा BC रेखा \(x+2\sqrt{2}y=4\) पर है। यदि शीर्ष A के निर्देशांक (\(\alpha, \beta\)) हैं, तो \(|\alpha+\sqrt{2}\beta|\) से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक ___ है।

ऐसी सभी प्राकृत संख्याओं ' \(n\) ' जो इस प्रकार है कि \(100 < n < 200\) तथा  \(H.C.F. (91, n ) > 1\) का योग है-

यदि \(x=\sqrt{2^{\operatorname{cosec}^{-1} t}}\) तथा \(y=\sqrt{2^{\sec ^{-1} t}}\), \(\left(| t | \geqslant 1\right.\) है) तो \(\frac{ d y}{ d x}\) बराबर है

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

माना रेखा \(\mathrm{L}\) बिन्दु \(\mathrm{P}(2,3,1)\) से होकर जाती है तथा रेखा \(\mathrm{x}+3 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}-2=0=\mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}\) के समान्तर है। यदि बिन्दु \((5,3,8)\) की रेखा \(\mathrm{L}\) से दूरी \(\alpha\) है तो \(3 \alpha^2\) बराबर है____________. 

माना \(S =\left\{ E _2, E _2 \ldots E _8\right\}\) एक यादृच्छिक प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है, जिसमें प्रत्येक \(n =1,2 \ldots . .8\) के लिए \(P \left( E _{ n }\right)=\frac{ n }{36}\) है। तो समुच्चय \(\left\{ A \subset S : P ( A ) \geq \frac{4}{5}\right\}\) में अवयवों की संख्या है

माना \(A =\{2,3,4,5, \ldots, 30\}\) है तथा \(A \times A\) पर, \(( a , b ) \simeq( c , d )\), यदि और केवल यदि \(ad = bc\) है, द्वारा परिभाषित एक तुल्यता संबंध ' \(=\) ' है। तो क्रमित युग्मों की संख्या, जो क्रमित युग्म \((4,3)\) के साथ इस तुल्यता संबंध को सन्तुष्ट करते हैं,

\(f(x)=\left|\begin{array}{ccc}\sin ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos 2 x \\ 1+\sin ^{2} x & \cos ^{2} x & \cos 2 x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x & \sin 2 x\end{array}\right|, x \in R\) का अधिकतम मान है