यदि \(\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ (a+\lambda)^{2} & (b+\lambda)^{2} & (c+\lambda)^{2} \\ (a-\lambda)^{2} & (b-\lambda)^{2} & (c-\lambda)^{2}\end{array}\right|=k \lambda\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|, \lambda \neq 0\) है, तो \(k\) बराबर है

यदि \(\cos \alpha+\cos \beta=\frac{3}{2}\) तथा \(\sin \alpha+\sin \beta=\frac{1}{2}\) हैं, तथा \(\alpha\) तथा \(\beta\) का समांतर माध्य \(\theta\) है, तो \(\sin 2 \theta+\cos 2 \theta\) बराबर है

माना अवकल समीकरण \(2 x^2 y d y-\left(1-x y^2\right) d x=0\), \(x>0, y(2)=\sqrt{\log _e 2}\) का हल \(\alpha x=\exp \left(x^\beta y^\gamma\right)\) है। तो \(\alpha+\beta-\gamma\) बराबर है:

माना \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\)। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) एक सदिश इस प्रकार है कि \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{4}\) है, तो \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___

समतल भूमि पर एक बिंदु \(P\) से एक ऊध्र्वाधर मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \(\alpha\) पाया गया। \(P\) से मीनार के पाद की ओर \(2\) मी. जाने पर, उन्नयन कोण बदल कर \(\beta\) हो जाता है, तो (मी.में) मीनार की ऊँचाई है

माना एक वृत्त \(\mathrm{C}\) जिसकी त्रिज्या \(1\) है और मूल बिंदु के अधिक निकट है, इस प्रकार है कि बिंदु \((3,2)\) से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समांतर रेखाएँ इसे स्पर्श करती हैं। तो बिंदु \((5,5)\) से वृत्त \(\mathrm{C}\) की न्यूनतम दूरी ........... है।

निम्न श्रेणी \(1+6+\frac{9\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}\right)}{7}+\frac{12\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}\right)}{9}\) \(+\frac{15\left(1^{2}+2^{2}+\ldots .+5^{2}\right)}{11}+\ldots\) के प्रथम \(15\) पदों का योग है 

माना \(f(x)=\sqrt{\lim _{r \rightarrow x}\left\{\frac{2 r^2\left[(f(r))^2-f(x) f(r)\right]}{r^2-x^2}-r^3 e^{\frac{f(r)}{r}}\right\}}\) अंतराल \((-\infty, 0) \cup(0, \infty)\) में अवकलनीय है तथा \(\mathrm{f}(\mathrm{l})=1\) है। यदि \(\mathrm{f}(\mathrm{a})=0\) है, तो \(\mathrm{ea}\) का मान ........... है।

मान लीजिए \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है। मान लीजिए R, A पर एक संबंध है जो \(x R y\) द्वारा परिभाषित है यदि और केवल यदि \(0 \leq x^2+2 y \leq 4\) है। मान लीजिए \(l\), R में अवयवों की संख्या है और \(m\) उन अवयवों की न्यूनतम संख्या है जिन्हें R में एक स्वतुल्य संबंध बनाने के लिए जोड़ा जाना चाहिए। तब \(l+m\) = ___

यदि वृत्त \(x^2+y^2-10 x+4 y+13=0\) का एक व्यास दूसरे वृत्त \(\mathrm{C}\) की जीवा है, जिसका केन्द्र, रेखाओं \(2 x+3 y=12\) तथा \(3 x-2 y=5\) का प्रतिच्छेदन बिन्दु है, तो वृत्त \(\mathrm{C}\) की त्रिज्या ........... है।

यदि \(\left(1+x^{\log _{2} x}\right)^{5}\) के द्विपद प्रसार में तीसरा पद \(2560\) के बराबर है, तो \(x\) का एक संभव मान है 

माना \(f: R \rightarrow R\) इस प्रकार है कि सभी \(x \in R\) के लिए \(\left(2^{1+x}+2^{1-x}\right), f(x)\) तथा \(\left(3^{x}+3^{-x}\right)\) एक समांतर श्रेढ़ी में है, तो \(f( x )\) का न्यूनतम मान है 

मान लीजिए \(\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) और \(\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}, \lambda \in Z\) दो सदिश हैं। मान लीजिए \(\overrightarrow{ c }=\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b }\) और \(\overrightarrow{ d }\) yz-समतल में परिमाण 2 का एक सदिश है। यदि \(|\overrightarrow{ c |}=\sqrt{53}\), तो \((\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ d })^2\) का अधिकतम संभव मान ___ है।