यदि \(\int \sqrt{\sec 2 x-1} d x=\alpha \log _e\left|\cos 2 x+\beta+\sqrt{\cos 2 x\left(1+\cos \frac{1}{\beta} x\right)}\right|+\) अचर, तो \(\beta-\alpha\) बराबर है

समतलों \(P_1\) तथा \(P_2\) के मध्य न्यून कोण जब समतल \(P _1\) तथा \(P _2\) समतलों \(5 x +8 y +13 z -29=0\) तथा \(8 x-7 y+z-20=0\) के प्रतिच्छेदन से तथा क्रमश: बिन्दु \((2,1,3)\) और \((0,1,2)\) से गुजरते है, होगा

फलन \(f ( x )= xe ^{ x (1- x )}, x \in R\),

माना \(A\) तथा \(B\) दो ऐसी अरिक्त (non-null) घटनायें है कि \(A \subset B\)-है। तो निम्न में से कौनसा कथन हमेशा सही है?

माना \(\vec{\alpha}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}\) एवं \(\vec{\beta}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}\) है। माना \(\vec{\beta}_1, \vec{\alpha}\) के समान्तर है तथा \(\vec{\beta}_2, \vec{\alpha}\) के लम्बवत है। यदि \(\vec{\beta}=\vec{\beta}_1+\vec{\beta}_2\) है, तब \(5 \vec{\beta}_2 \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) का मान है :

माना परवलय \(P: y^2 = 8x\) की नियता, \(x\)-अक्ष को बिंदु \(A\) पर काटती है। माना \(B(\alpha, \beta)\), जहाँ \(\alpha > 1\), \(P\) पर एक बिंदु है इस प्रकार कि \(AB\) की ढाल \(3/5\) है। यदि \(BC\), \(P\) की एक नाभीय जीवा है, तो \(\triangle ABC\) के क्षेत्रफल का छह गुना है :

परवलय \(y^2=4 x+16\) की नाभि त्रिज्या 5 वाले वृत्त \(C\) का केंद्र है। यदि \(\lambda\) के मान, जिनके लिए \(C\) रेखाओं \(3 x-y=0\) और \(x+\lambda y=4\) के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है, \(\lambda_1\) और \(\lambda_2\) हैं, जहाँ \(\lambda_1 \lt \lambda_2\), तो \(12 \lambda_1+29 \lambda_2\) = __________

दो न्याय पासे फेंके जाते है। उनमें प्राप्त अंको को \(\lambda\) तथा \(\mu\) लेकर रैखिक समीकरण निकाय \(x+y+z=5\) , \(x+2 y+3 z=\mu\) , \(x+3 y+\lambda z=1\) बनाया जाता है। यदि इस निकाय का अद्वितीय हल होने की प्रायिकता \(p\) है तथा इस निकाय का कोई भी हल न होने की प्रायिकता \(q\) है, तो -

माना \(A\) कोई \(3 \times 3\) का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो निम्न में से कौन-सा सदा सत्य नहीं है ?

एक उच्च माध्यमिक विद्यालय के \(220\) छात्रों के सर्वेक्षण में, यह पाया गया कि कम से कम \(125\) और अधिक से अधिक \(130\) छात्रों ने गणित का अध्ययन किया; कम से कम \(85\) और अधिक से अधिक \(95\) ने भौतिकी का अध्ययन किया; कम से कम \(75\) और अधिक से अधिक \(90\) ने रसायन विज्ञान का अध्ययन किया; \(30\) ने भौतिकी और रसायन विज्ञान दोनों का अध्ययन किया; \(50\) ने रसायन विज्ञान और गणित दोनों का अध्ययन किया; \(40\) ने गणित और भौतिकी दोनों का अध्ययन किया और \(10\) ने इनमें से किसी भी विषय का अध्ययन नहीं किया। मान लीजिए \(\mathrm{m}\) और \(\mathrm{n}\) क्रमशः उन छात्रों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या है जिन्होंने तीनों विषयों का अध्ययन किया। तो \(\mathrm{m}+\mathrm{n}\) = ...........

ધારો કે \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ને \(f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 2}{3x^2 + x + 3}\) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તો \(f\) છે:

माना \(f(x)=\frac{x}{\left(1+x^n\right)^{\frac{1}{n}}}, x \in R-\{-1\}, n \in N\), \(\mathrm{n}>2\) हैं। यदि \(\mathrm{f}^{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=\) (fofof \(\ldots . . \mathrm{n}\) बार) \((\mathrm{x})\) है, तो \(\operatorname{Lim}_{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \int_0^1 \mathrm{x}^{\mathrm{n}-2}\left(\mathrm{f}^{\mathrm{n}}(\mathrm{x})\right) \mathrm{dx}\) बराबर है_____________

फलन \(f:[1,\infty) \rightarrow [1,\infty)\) के लिए, जो \(f(x)=(x-1)^4+1\) द्वारा परिभाषित है, निम्नलिखित दो कथनों में से:
(I) समुच्चय \(S=\{x \in [1,\infty): f(x)=f^{-1}(x)\}\) में ठीक दो अवयव हैं, और
(II) समुच्चय \(S=\{x \in [1,\infty): f(x)=f^{-1}(x+1)\}\) एक रिक्त समुच्चय है,