निम्नतम धनात्मक पूर्णाक \(n\) जिसके लिए \(\frac{(2 i)^{ n }}{(1- i )^{ n -2}}, i =\sqrt{-1}\) एक धनात्मक पूर्णांक हे, है ...........

\(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{3 x^{2}+2}{7 x^{2}+2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\) बराबर है 

माना \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}, \vec{c}=\lambda \hat{j}+\mu \hat{k}\) और \(\hat{d}\) एक मात्रक सदिश है इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \hat{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \hat{\mathrm{d}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \hat{\mathrm{d}}=1\), यदि सदिश \(\vec{c}\) सदिश \(\vec{a}\) पर लंबवत है, तो \(|3 \lambda \hat{d}+\mu \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___ है।

एक पत्र ज्ञात है कि वह कानपुर या अनंतपुर में से किसी एक स्थान से डाक द्वारा आया है। लिफाफे पर केवल दो क्रमागत अक्षर AN दिखाई दे रहे हैं। इसकी प्रायिकता, कि पत्र अनंतपुर से आया था, है:

मान लीजिए कि \(A\) एक \(3 \times 3\) आव्यूह है इस प्रकार कि
\(\begin{aligned}
& |\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} \mathrm{A}))|=81 . \text { यदि } \\
& \mathrm{S}=\left\{\mathrm{n} \in \mathbb{Z}:(|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|)^{\frac{(n-1)^2}{2}}=|A|^{\left(3 n^2-5 n-4\right)}\right\}
\end{aligned}\)
, तो \(\sum_{n \in S}\left|A^{\left(n^2+n\right)}\right|\) = ___

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

\(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(2+3 \sin x)}{\sin x(1+\cos x)} d x\) का मान बराबर है

समीकरण \(\arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}\) एक वत्त को निरूपित करता है जिसका 

माना \(a_1, a_2, \ldots ., a_n, \ldots\) वास्तविक संख्याओं की एक समांतर श्रेढ़ी है। यदि इस श्रेढ़ी के प्रथम पाँच पदों के योग का, प्रथम नौ पदों के योग से अनुपात \(5: 17\) है तथा \(110 < a_{15} < 120\) है, तो इस श्रेढ़ी के प्रथम दस पदों का योग है -

यदि \(\frac{3}{1^{2}}+\frac{5}{1^{2}+2^{2}}+\frac{7}{1^{2}+2^{2}+3^{2}}+\ldots \ldots .+\) के \(20\) पदों तक का योग \(\frac{ k }{21}\) के बराबर है, तो \(k\) बराबर है 

दीर्घवृत्त \(\mathrm{E}: \frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1\) की नियता \(\mathrm{x}=8\) है तथा संगत नाभि \((2,0)\) है। यदि प्रथम चतुर्थांश में \(\mathrm{E}\) के बिन्दु \(\mathrm{P}\) पर स्पर्श रेखा, बिन्दु \((0,4 \sqrt{3})\) से होकर जाती है तथा \(\mathrm{x}\)-अक्ष को \(\mathrm{Q}\) पर काटती है, तो \((3 \mathrm{PQ})^2\) बराबर है _______________

यदि \((\alpha, 7,1)\) से जाने वाली एक रेखा पर बिन्दु \((1,0,3)\) से डाले गये लम्ब का पाद \(\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)\) है, तो \(\alpha\) बराबर है

एक दीर्घवृत्त, जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है तथा दीर्घ अक्ष \(x\)-अक्ष की दिशा में है, पर विचार कीजिए। यदि उसकी उत्केन्द्रता \(\frac{3}{5}\) तथा नाभियों के बीच की दूरी \(6\) है, तो उस चतुर्भुज, जो दीर्घवृत्त के अन्तर्गत बनाई गई है तथा जिसके शीर्ष, दीर्घवृत्त के शीर्षों पर हैं, का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है