माना \(Q\), बिन्दु \((2,3,-1)\) का रेखा \(L : \frac{ x -3}{2}=\frac{ y -1}{1}=\frac{ z -2}{1}\) में दर्पण प्रतिबिम्ब है। माना एक समतल \(P\) बिन्दु \(Q\) से होकर जाता है तथा रेखा \(L , P\) पर लम्बवत् है। तो निम्न में से कौन सा बिन्दु समतल \(P\) पर है ?

एक समबाहु त्रिभुज \(PQR\) में, मान लीजिए कि शीर्ष \(P\), \((3, 5)\) पर है और भुजा \(QR\) रेखा \(x + y = 4\) के अनुदिश है। यदि त्रिभुज \(PQR\) का लंबकेन्द्र \((\alpha, \beta)\) है, तो \(9(\alpha + \beta)\) का मान होगा:

वृतों \(x ^{2}+ y ^{2}=4\) तथा \(x ^{2}+ y ^{2}+6 x +8 y -24=0\) की उभयनिष्ट स्पर्श रेखा निम्न में से किस बिन्दु से होकर जाती है ?

रैखिक समीकरण निकाय \(x+y+z=5, x+2 y+\lambda^2 z=9\) \(\mathrm{x}+3 \mathrm{y}+\lambda \mathrm{z}=\mu\), जहाँ \(\lambda, \mu \in \mathrm{R}\) हैं का विचार कीजिए। तो निम्न में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

माना \( (h, k) \) वृत्त \( C: x^{2}+y^{2}=4 \) पर स्थित है और बिंदु \( (2h+1, 3k+2) \) एक दीर्घवृत्त पर स्थित है जिसकी उत्केंद्रता \( e \) है। तो \( \frac{5}{e^{2}} \) का मान ___ है।

बिना पुनरावृत्ति के \(UNIVERSE\) शब्द के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले \(4\) अक्षरों, जिनमें \(2\) स्वर तथा \(2\) व्यंजक हों, के अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की संख्या है_____________

\(9 \int_0^9\left[\sqrt{\frac{10 x}{x+1}}\right] d x\) का मान, जहाँ \([t]\) , \(t\) से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है, वह ........... है।

\(2 \sin \left(12^{\circ}\right)-\sin \left(72^{\circ}\right)\) का मान होगा-

सभी \(a \in \mathbb{R}\), जिनके लिए समीकरण \(\mathrm{x}|\mathrm{x}-1|+|\mathrm{x}+2|+\mathrm{a}=0\) का मात्र एक वास्तविक मूल है :

माना दो पासे फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का योग \(\mathrm{N}\) है। यदि \(2^{\mathrm{N}}<\mathrm{N}\) ! होने की प्रायिकता \(\frac{m}{n}\) है, जहाँ \(\mathrm{m}\) तथा \(n\) असहभाज्य हैं, ता \(4 m-3 n\) बराबर है :

माना \(\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, 2, \mathrm{a}_3, \mathrm{a}_4\) एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है। यदि संगत गुणोत्तर श्रेणी का सर्व अनुपात \(2\) है तथा समांतर-गुणोत्तर श्रेणी के सभी \(5\) पदों का योग \(\frac{49}{2}\) है, तो \(a_4\) बराबर है :

माना \(u =\frac{2 z + i }{ z - ki }, z = x + iy\) तथा \(k > 0\) है । \(\operatorname{Re}(u)+\operatorname{Im}(u)=1\) द्वारा प्रदर्शित वक्र \(y\)-अक्ष को बिन्दु \(P\) तथा \(Q\) पर काटता हैं जहाँ \(PQ =5\) हो, तो \(k\) का मान होगा 

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________