माना \(H: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) एक अतिपरवलय है, जिसकी नाभियों के बीच की दूरी \(6\) और नियताओं के बीच की दूरी \(\dfrac{8}{3}\) है। यदि रेखा \(x=\alpha\) अतिपरवलय \(H\) को बिंदुओं \(A\) और \(B\) पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि त्रिभुज \(AOB\) का क्षेत्रफल \(4\sqrt{15}\) है, जहाँ \(O\) मूल बिंदु है, तो \(\alpha^2\) बराबर है

परवलय \(y = x ^{2}+1\), इस के एक बिन्दु \((2,5)\) पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा निर्देशांक अक्षों द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाईयों में) है

माना किसी समय \(t\) पर जीवित खरगोशों की जनसंख्या अवकल समीकरण \(\frac{d p(t)}{d t}=\frac{1}{2} p(t)-200\) द्वारा नियंत्रित हैं। यदि \(p(0)=100\) है, तो \(p(t)\) बराबर है:

माना \(x, y, z\) ऐसी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं कि, \(x+y+z=12\) तथा \(x^{3} y^{4} z^{5}=(0.1)(600)^{3}\) है, तो \(x^{3}+y^{3}+z^{3}\) बराबर है

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}\left(x-[x]^{2}\right) \cdot \sin ^{-1}\left(x-[x]^{2}\right)}{x-x^{3}}\), जहों \([x]\) महत्तम पूर्णांक \(\leq x\) है, का मान है

माना \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots ., a_{49}\) एक समांतर श्रेढ़ी में ऐसे है कि \(\sum_{k=0}^{12} a_{4 k+1}=416\) तथा \(a_{9}+a_{43}=66\) है। यदि \(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots . .+a_{17}^{2}=140\, m\) है, तो \(m\) बराबर है

यदि \(y ^{14}+ y ^{-14}=2 x\), तथा \(\left( x ^{2}-1\right) \frac{ d ^{2} y }{ dx ^{2}}+\alpha x \frac{ dy }{ dx }+\beta y =0\) है, तो \(|\alpha-\beta|\) बराबर है ......... |

मान लीजिए \(\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}\) और \(\mathrm{B}=\{1,4,9,16\}\) हैं। तो बहु-एक फलनों की संख्या \(f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}\) इस प्रकार कि \(1 \in f(\mathrm{~A})\) = ___

माना फलन \(f ( x )=\log _{4}\left(\log _{5}\left(\log _{3}\left(18 x - x ^{2}-77\right)\right)\right)\) का प्रांत \(( a , b )\) है। तो समाकलन  \(\int \limits_{a}^{b} \frac{\sin ^{3} x}{\left(\sin ^{3} x+\sin ^{3}(a+b-x)\right)} d x\) का मान बराबर है

मान लीजिए कि \(\mathrm{A}=\left[\mathrm{a}_{i j}\right]\) एक \(2 \times 2\) आव्यूह है जहाँ सभी \(i\) और \(j\) के लिए \(\mathrm{a}_{i j} \in\{0,1\}\) है। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर X, आव्यूह \(A\) के सारणिक के संभावित मानों को दर्शाता है। तब, \(X\) का प्रसरण ___ है।

कथनों : \((S1)\) : \(2023^{2022}-1999^{2022}, 8\) से विभाज्य है \((S2)\) : \(13(13)^n-11 \mathrm{n}-13\) अनंत \(\mathrm{n} \in \mathrm{N}\) के लिए \(144\) से विभाज्य हैमें से

माना कि फलनों
\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _4 \log _3 \log _7\left(8-\log _2\left(\mathrm{x}^2+4 \mathrm{x}+5\right)\right)\) और \(g(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{7 x+10}{x-2}\right)\) के प्रांत क्रमशः \((\alpha, \beta)\) और \([\gamma, \delta]\) हैं। तब \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2\) = __________