माना दीर्घवृत्त \(9 x^2+4 y^2=36\) पर चार बिंदु \(\mathrm{P}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}}\right), \mathrm{Q}, \mathrm{R}\) तथा \(\mathrm{S}\) हैं। माना रेखाखंड \(\mathrm{PQ}\) तथा \(\mathrm{RS}\) परस्पर लंबवत है तथा मूलबिंदु से होकर जाते हैं। यदि \(\frac{1}{(\mathrm{PQ})^2}+\frac{1}{(\mathrm{RS})^2}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\), जहाँ \(\mathrm{p}\) तथा \(q\) असहभाज्य है, तो \(\mathrm{p}+\mathrm{q}\) बराबर है :

माना एक त्रिभुज \(\mathrm{ABC}\) के लिए, \( \overrightarrow{A B}=-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k} \) \( \overrightarrow{C B}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k} \) \( \overrightarrow{C A}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+\delta \hat{k}\) है। यदि \(\delta>0\) है तथा त्रिभुज \(\mathrm{ABC}\) का क्षेत्रफल \(5 \sqrt{6}\) है, तो \(\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}\) बराबर है :

माना \(\mathrm{x}\) तथा \(\mathrm{y}\) विभिन्न पूर्णांक है जहाँ \(1 \leq \mathrm{x} \leq 25\) तथा \(1 \leq y \leq 25\) है। तंब \(x\) तथा \(y\) के चयन के तरीकों की संख्या, ताकि \(\mathrm{x}+\mathrm{y}, 5\) से विभाजित हो, होगी___________.

यदि \(y=\cos \left(\frac{\pi}{3}+\cos ^{-1} \frac{x}{2}\right)\) है, तो \((x-y)^2+3 y^2\) का मान ___ है।

माना \(P\) बिंदु \(Q(10,-3,-1)\) से रेखा \(\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-2}\) पर डाले गए लंब का पाद है। तो समकोण त्रिभुज \(P Q R\) का क्षेत्रफल, जहाँ \(R\) बिंदु \((3,-2,1)\) है, वह ___ होगा।

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन I: \(f:R\rightarrow R\) द्वारा परिभाषित फलन \(f(x)=\frac{x}{1+|x|}\) एकैकी है।
कथन II: \(f:R\rightarrow R\) द्वारा परिभाषित फलन \(f(x)=\frac{x^{2}+4x-30}{x^{2}-8x+18}\) बहु-एकी है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:

सदिशों \(\hat{ i }, \hat{ i }+\hat{ j }\) द्वारा प्राप्त समतल तथा सदिशों \(\hat{ i }-\hat{ j }, \hat{ i }+\hat{ k }\) द्वारा प्राप्त समतल की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर एक सदिश \(\vec{a}\) है। \(\vec{a}\) तथा सदिश \(\overrightarrow{ b }=\hat{ i }-2 \hat{ j }+2 \hat{ k }\) के बीच अधिक कोण है :

माना \( S=\frac{1}{25!}+\frac{1}{3!23!}+\frac{1}{5!21!}+. \dots \) 13 पदों तक। यदि \( 13S=\frac{2^{k}}{n!} \) जहाँ \( k\in N \), तो \( n+k \) = ___ है।

माना बिंदु \((-1,0,-2)\) से होकर जाने वाले तथा समतलों \(2 x + y - z =2\) और \(x - y - z =3\) पर लम्बवत समतल का समीकरण \(ax + by + cz +8=0\) है, तो \(a + b + c\) का मान बराबर है

परवलय \(y = x ^{2}+1\), इस के एक बिन्दु \((2,5)\) पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा निर्देशांक अक्षों द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाईयों में) है

मान लीजिए 7 प्रेक्षणों 2, 4, 10, x, 12, 14, y, \( x>y \) का माध्य और प्रसरण क्रमशः 8 और 16 हैं। {1, 2, 3, x-4, y, 5} में से दो संख्याएँ एक के बाद एक बिना प्रतिस्थापन के चुनी जाती हैं, तो वह प्रायिकता, कि चुनी गई दो संख्याओं में से छोटी संख्या 4 से कम हो, वह ........... है।

\(\tan ^{-1}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)+\sec ^{-1}\left(\sqrt{\frac{8+4 \sqrt{3}}{6+3 \sqrt{3}}}\right)\) बराबर है:

एक उच्च माध्यमिक विद्यालय के \(220\) छात्रों के सर्वेक्षण में, यह पाया गया कि कम से कम \(125\) और अधिक से अधिक \(130\) छात्रों ने गणित का अध्ययन किया; कम से कम \(85\) और अधिक से अधिक \(95\) ने भौतिकी का अध्ययन किया; कम से कम \(75\) और अधिक से अधिक \(90\) ने रसायन विज्ञान का अध्ययन किया; \(30\) ने भौतिकी और रसायन विज्ञान दोनों का अध्ययन किया; \(50\) ने रसायन विज्ञान और गणित दोनों का अध्ययन किया; \(40\) ने गणित और भौतिकी दोनों का अध्ययन किया और \(10\) ने इनमें से किसी भी विषय का अध्ययन नहीं किया। मान लीजिए \(\mathrm{m}\) और \(\mathrm{n}\) क्रमशः उन छात्रों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या है जिन्होंने तीनों विषयों का अध्ययन किया। तो \(\mathrm{m}+\mathrm{n}\) = ...........