नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन I: \(f:R\rightarrow R\) द्वारा परिभाषित फलन \(f(x)=\frac{x}{1+|x|}\) एकैकी है।
कथन II: \(f:R\rightarrow R\) द्वारा परिभाषित फलन \(f(x)=\frac{x^{2}+4x-30}{x^{2}-8x+18}\) बहु-एकी है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:

A कथन I और कथन II दोनों असत्य हैं।
B कथन I और कथन II दोनों सत्य हैं।
C कथन I असत्य है परन्तु कथन II सत्य है।
D कथन I सत्य है परन्तु कथन II असत्य है।

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(B) कथन I और कथन II दोनों सत्य हैं।

Step-by-step Solution

Detailed explanation

Statement 1: \(f(x)=\frac{x}{1+|x|}\) \(f(x)=\begin{cases}\frac{x}{1+x}&x\ge0\\ \frac{x}{1-x}&x<0\end{cases}\) \(f(x)\) is one-one Statement 2: \(f(x)=\frac{x^2+4 x-30}{x^2-8 x+18}, f(0)=\frac{-30}{18}=\frac{-5}{3}\) \(\frac{-5}{3}=\frac{x^{2}+4x-30}{x^{2}-8x+18}\) On solving…

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

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