माना \( \vec{a}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k},\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\vec{c}=\lambda\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} \) तथा \( \vec{v}=\vec{a}\times\vec{b} \) है। यदि \( \vec{v} \cdot \vec{c}=11 \) तथा \( \vec{b} \) का \( \vec{c} \) पर प्रक्षेप की लंबाई \( p \) है, तो \( 9p^{2} \) = ___ है।

यदि सम्मिश्र संख्या \(z=2-i\left(2 \tan \frac{5 \pi}{8}\right)\) का मापांक \(r\) और कोणांक  \(\theta\) है, तो \((r, \theta)\) क्या हैं?

\(\operatorname{cosec}\left[2 \cot ^{-1}(5)+\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\right]\) बराबर है

यदि \(A\) कोटि \(3\) का एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि \( \operatorname{det}(\mathrm{A})=3 \) और \( \operatorname{det}\left(\operatorname{adj}\left(-4 \operatorname{adj}\left(-3 \operatorname{adj}\left(3 \operatorname{adj}\left((2 \mathrm{~A})^{-1}\right)\right)\right)\right)\right)=2^{\mathrm{m}} 3^{\mathrm{n}},\) तो \(m + 2 n\) = ...........

वह धनात्मक पूर्णांक n, जिसके लिए समीकरण \( x(x+2)+(x+2)(x+4)+....+(x+2n-2)(x+2n) = \frac{8n}{3} \) के हल दो क्रमागत सम पूर्णांक हैं, वह ........... है।

अवकल समीकरण \(\frac{ dy }{ dx }-\frac{ y +3 x }{\log _{ e }( y +3 x )}+3=0\) का हल है (जहाँ \(C\) एक समाकलन अचर है।)

यदि \(z = x + iy\) समीकरणों \(| z |-2=0\) तथा \(|z-i||z+5 i|=0\) को संतुष्ट करता है, तो

नीचे दो कथन दिए गए हैं :
कथन I : \(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan ^{-1} x+\log _e \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-2 x}{x^5}\right)=\frac{2}{5}\)
कथन II : \(\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 1}\left(\mathrm{x}^{\frac{2}{1-\mathrm{x}}}\right)=\frac{1}{\mathrm{e}^2}\)
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें :

एक पासे के दो फलकों पर 1, दो फलकों पर 2, एक फलक पर 3 और एक फलक पर 4 अंकित है। एक अन्य पासे के एक फलक पर 1, दो फलकों पर 2, दो फलकों पर 3 और एक फलक पर 4 अंकित है। जब दोनों पासों को एक साथ उछाला जाता है, तो संख्याओं का योग 4 या 5 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

वक्रों \(y =\left| x ^2-1\right|\) तथा \(y =1\) द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

दो अशून्य सम्मिश्र संख्या \(\mathrm{z}_1\) तथा \(\mathrm{z}_2\) के लिये यदि \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1 \mathrm{z}_2\right)=0\) तथा \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1+\mathrm{z}_2\right)=0\) हो, तो निम्न में से कौनसा संभव है ? (\(A\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(B\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(C\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) (\(D\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) नीचे दिये गये विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए :

माना \(2 h\) ऊँचाई का एक ऊर्ध्वाधर टाँवर \(AB\) एक क्षैतिज धरातल पर खडा है। माना धरातल के एक बिंदु \(P\) से एक पुरूष टावर को \(h\) ऊँचाई तक उन्नयन कोण \(2 \alpha\) के साथ देख सकता है। जब वह \(P , \overrightarrow{A P}\) की दिशा में \(d\) दूरी तक जाता है, तो वह टावर का शिखर \(B\) को उन्नयन कोण \(\alpha\) के साथ देख सकता है। यदि \(d=\sqrt{7} h\), तो \(\tan \alpha\) बराबर है

यदि एक अतिपरवलय के शीर्ष \((-2,0)\) तथा \((2,0)\) पर हैं तथा इसकी एक नाभि \((-3,0)\) पर है, तो निम्न में से कौन सा बिन्दु इस अतिपरवलय पर स्थित नहीं है ?