यदि सम्मिश्र संख्या \(z=2-i\left(2 \tan \frac{5 \pi}{8}\right)\) का मापांक \(r\) और कोणांक  \(\theta\) है, तो \((r, \theta)\) क्या हैं?

यदि \(L =\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right)-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)\) तथा \(M =\cos  ^{2}\)\(\left(\frac{\pi}{16}\right)-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)\) है, तो

समाकल \(\int \frac{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}{\left(\sin ^{3} x+\cos ^{3} x\right)^{2}} d x\) बराबर है

मान लीजिए कि रेखा \(x+y=1\) वृत्त \(x^2+y^2=4\) को बिंदुओं A और B पर मिलती है। यदि रेखा \(A B\) के लंबवत है और जीवा \(A B\) के मध्य-बिंदु से गुजरती है, वृत्त को \(C\) और \(D\) पर प्रतिच्छेद करती है, तो चतुर्भुज ADBC का क्षेत्रफल = __________

\(\int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} d x\) बराबर है :

मान लीजिए दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी 5 इकाई है और एक बिंदु \(P\) रेखाओं के बीच उनमें से एक से 1 इकाई की दूरी पर स्थित है। एक समबाहु त्रिभुज \(P Q R\) बनाया जाता है, इस प्रकार कि \(Q\) एक समांतर रेखा पर स्थित है, जबकि \(R\) दूसरी पर स्थित है। तो \((Q R)^2\) बराबर _______ - है।

एक बिंदु \((-2,-1)\) से एक वक्र \(y^{2}=4 x\) पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई है, यदि उनके बीच का कोण \(\alpha\) है, तो \(|\tan \alpha|\) बराबर है

माना \(A =\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{7}\right\}\) तथा \(B =\left\{y_{1}, y_{2}, y_{3}\right\}\) ऐसे दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः सात तथा तीन विभित्र अवयव हैं ; तो ऐसे फलनों \(f: A \rightarrow B\) की कुल संख्या, जो कि आच्छादक हैं, यदि \(A\) में ऐसे ठीक तीन \(x\) अवयव हैं जिनके लिए \(f(x)=y_{2}\) है

मान लीजिए \(\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+k, \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 k\) और एक सदिश \(\vec{c}\) इस प्रकार है कि \((\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}) \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=-18 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+12 \mathrm{k}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=3\)। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{d}}\), तो \(|\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}|\) = ___

यदि \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin ( p +1) x +\sin x }{ x } & , \quad x <0 \\ q & , \quad x =0 \\ \frac{\sqrt{ x + x ^{2}}-\sqrt{ x }}{ x ^{3 / 2}} & , \quad x >0\end{array}\right.\) \(x =0\), पर संतत् है, तो क्रमित युग्म \(( p , q )\) बराबर है 

उन वृत्तों के केन्द्र, जो वृत्त \(x^{2}+y^{2}-8 x-8 y-4=0\) को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं तथा \(x\) -अक्ष को भी स्पर्श करते हैं, स्थित हैं:

माना \(a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{10}\) गुणोत्तर श्रेणी में है जिसमें \(i =1,2, \ldots, 10\) के लिये \(a _{ i }>0\) है तथा युग्मों \(( r , k ), r , k \in N\) (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) का समुच्चय \(S\) है जिसके लिये \(\left|\begin{array}{lll}\log _{ e } a_{1}^{ r } a _{2}^{ k } & \log _{ e } a _{2}^{ r } a _{3}^{ k } & \log _{ e } a _{3}^{ r } a _{4}^{ k } \\ \log _{ e } a _{4}^{ r } a _{5}^{ k } & \log _{ e } a _{5}^{ r } a _{6}^{ k } & \log _{ e } a _{6}^{ r } a _{7}^{ k } \\ \log _{ e } a _{7}^{ r } a _{8}^{ k } & \log _{ e } a _{8}^{ r } a _{9}^{ k } & \log _{ e } a _{9}^{ r } a _{10}^{ k }\end{array}\right|=0\) है। तब \(S\) में अवयवों की संख्या होगी 

यदि \(f(x)=2 \tan ^{-1} x+\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right), x>1\) है, तो \(f(5)\) बराबर है