माना \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\) गुणोत्तर श्रेणी इस प्रकार है कि \(a_{1}<0, a_{1}+a_{2}=4\) तथा \(a_{3}+a_{4}=16\). यदि \(\sum_{i=1}^{9} a_{i}=4 \lambda\) है, तो \(\lambda\) बराबर है

\(4 \int_0^1\left(\frac{1}{\sqrt{3+x^2}+\sqrt{1+x^2}}\right) d x-3 \log _e(\sqrt{3})\) = ___

यदि \(x ^{3} dy + xy dx = x ^{2} dy +2 y dx ; y (2)= e\) तथा \(x >1\), तो \(y (4)\) बराबर है

\(5\) लड़कियों तथा \(7\) लड़कों को एक गोल मेज पर इस प्रकार बैठाने, कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें, के तरीकों की संख्या है

माना तीन सदिश \(\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ b }\) तथा \(\overrightarrow{ c }\) इस प्रकार हैं कि \(|\overrightarrow{ a }|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{ b }|=5, \overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }=10\) तथा \(\overrightarrow{ b }\) और \(\overrightarrow{ c }\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{3}\) है। यदि \(\overrightarrow{ a }\), सदिश \(\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c }\) पर लम्बवत् है, तो \(|\overrightarrow{ a } \times(\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c })|\) बराबर है

माना \(f(x)\) एक द्विघात बहुपद है जिसके लिए \(f(-1)+\) \(f(2)=0\) है। यदि \(f(x)=0\) का एक मूल \(3\) है, तो दूसरा मूल निम्न में से किस अन्तराल में स्थित है?

मान लीजिए कि M, कोटि \(3 \times 3\) के सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय है और मान लीजिए कि \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\) है। मान लीजिए कि
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) और \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
यदि \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), तो \(\alpha\) = ___

माना \(\alpha, \beta, \gamma\) समीकरण \(x ^{3}+ ax ^{2}+ bx + c =0\), \((a, b, c \in R\) तथा \(a, b \neq 0)\) के वास्तविक मूल हैं। यदि \(u , v , w\) में समीकरण निकाय \(\alpha u +\beta v +\gamma w =0\), \(\beta u+\gamma v+\alpha w=0 ; \gamma u+\alpha v+\beta w=0\) का अतुच्छ हल है, तो \(\frac{a^{2}}{b}\) का मान है

माना \([x]\) किसी वास्तविक संख्या \(x\) से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। तो \(f(x)=\sec ^{-1}(2[x]+1)\) का प्रांत क्या है?

7 बल्लेबाजों और 6 गेंदबाजों के एक समूह से, एक टीम के लिए 10 खिलाड़ी चुने जाने हैं, जिसमें कम से कम 4 बल्लेबाज और कम से कम 4 गेंदबाज शामिल होने चाहिए। एक बल्लेबाज और एक गेंदबाज जो क्रमशः टीम के कप्तान और उप-कप्तान हैं, उन्हें टीम में शामिल किया जाना चाहिए। तो ऐसे चयन के तरीकों की कुल संख्या है:

जब एक प्रक्षेपास्त्र किसी जहाज से दागा जाता है, तो इसके अवरुद्ध होने की प्रायिकता \(\frac{1}{3}\) है तथा यह दिए होने पर कि यह अवरूद्ध नहीं होता, इसके निशाने पर लगने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है। यदि जहाज से तीन प्रक्षेपास्त्र स्वतंत्र रूप से दागे जाते हैं, तो सभी तीनों के निशाने पर लगने की प्रायिकता है

माना \(\left|z_1-8-2 i\right| \leq 1\) और \(\left|z_2-2+6 i\right| \leq 2, z_1, z_2 \in \mathbf{C}\). तब \(\left|z_1-z_2\right|\) का न्यूनतम मान = __________

प्रवणता 2 वाली रेखा \(L_1\) और प्रवणता \(\frac{1}{2}\) वाली रेखा \(L_2\) मूल-बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। प्रथम चतुर्थांश में, रेखा \(L_1\) पर 12 बिंदु \(\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \ldots . \mathrm{P}_{12}\) हैं और रेखा \(L_2\) पर 9 बिंदु \(Q_1, Q_2, \ldots . . Q_9\) हैं। तब, 22 बिंदुओं \(\mathrm{O}, \mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \ldots \mathrm{P}_{12}\), \(\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2, \ldots . \mathrm{Q}_9\) में से किन्हीं तीन बिंदुओं को शीर्ष लेकर बनाए जा सकने वाले कुल त्रिभुजों की संख्या है: