मान लीजिए S प्रथम 11 प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। तब, \( A=\{B\subseteq S:n(B)\ge2 \) तथा B के सभी अवयवों का गुणनफल सम है} में अवयवों की संख्या ___ है।

बमों के एक आक्रमण में, एक बम के लक्ष्य पर प्रहार करने की संभावना \(50 \%\) है। लक्ष्य को पूरी तरह से नष्ट करने के लिए कम से कम दो स्वतंत्र प्रहारों की आवश्यकता है, तो लक्ष्य को पूरी तरह से नष्ट करने की संभावना कम से कम \(99 \%\) सुनिश्चित करने के लिए गिराए जाने वाले बमों की न्यूनतम संख्या है |

माना \(\mathrm{ABCD}\) और \(\mathrm{AEFG}\) क्रमशः \(4\) और \(2\) इकाई भुजा के वर्ग हैं। बिंदु \(\mathrm{E}\) रेखाखंड \(\mathrm{AB}\) पर स्थित है और बिंदु \(\mathrm{F}\) विकर्ण \(\mathrm{AC}\) पर है। तब बिंदु \(\mathrm{F}\) से होकर जाने वाले और रेखाखंडों \(\mathrm{BC}\) तथा \(\mathrm{CD}\) को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या \(r\) ........... को संतुष्ट करती है।

मान लीजिए \(A=\{(\alpha, \beta) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}:|\alpha-1| \leq 4 \text { और }|\beta-5| \leq 6\}\) तथा \(B=\{(\alpha, \beta) \in \mathbf{R} \times\) \(\mathbf{R}: 16(\alpha-2)^2+9(\beta-6)^2 \leq 144\}\)

सभी \(a \in \mathbb{R}\), जिनके लिए समीकरण \(\mathrm{x}|\mathrm{x}-1|+|\mathrm{x}+2|+\mathrm{a}=0\) का मात्र एक वास्तविक मूल है :

यदि  \(S=\left\{x \in \mathbb{R}: \sin ^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2 x+2}}\right)-\sin ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{\pi}{4}\right\}\) है, तो \(\sum_{x \in \mathbb{R}}\left(\sin \left(\left(x^2+x+5\right) \frac{\pi}{2}\right)-\cos \left(\left(x^2+x+5\right) \pi\right)\right)\) बरांबर है__________

यदि \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0\) के प्रसार में \(\mathrm{x}^{30}\) का गुणांक \(\alpha\) है, तो \(|\alpha|\) = ...........

यदि फलन \( f(x)=\log_{(10x^{2}-17x+7)}(18x^{2}-11x+1) \) का प्रांत \( (-\infty,a)\cup(b,c)\cup(d,\infty)-\{e\} \) है, तो \( 90(a+b+c+d+e) \) का मान ___ होगा।

किसी शहर में, \(25 \%\) परिवारों के पास फोन है तथा \(15 \%\) के पास कार है ; \(65 \%\) परिवारों के पास नो फोन है और न ही कार है, तथा \(2,000\) परिवारों के पास फोन तथा कार दोनों हैं। निम्न तीन कथनों पर विचार कीजिए \((a)\) \(5 \%\) परिवारों के पास कार तथा फोन दोनों हैं। \((b)\) \(35 \%\) परिवारों के पास या तो कार है या फोन है। \((c)\) शहर में \(40,000\) परिवार रहते हैं। तो,

माना \(A\) तथा \(B\) दो \(3 \times 3\) वास्तविक आव्यूह है जबकि \(A\) सममित आव्यूह है तथा \(B\) विषम सममित आव्यूह है। तो रैखिक समीकरण निकाय, \(\left( A ^{2} B ^{2}- B ^{2} A ^{2}\right) X = O\), जबकि \(X\), एक \(3 \times 1\) अज्ञात चरों का स्तम्भ आव्यूह है तथा \(O\), एक \(3 \times 1\) शून्य आव्यूह है

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

रेखा \(x = y\) एक वृत्त को बिन्दु \((1,1)\) पर स्पर्श करती है। यदि यह वृत्त बिन्दु \((1,-3)\) से भी होकर जाता है, तो इसकी त्रिज्या है

\(\int_0^{20\pi} (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx\) का मान बराबर है: