दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1\) के नाभिलम्बों के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि वक्र \(x=12(t+\sin t \cos t)\),\(y =12(1+\sin t )^2, 0 < t < \frac{\pi}{2}\) के बिन्दु \(\left( x _0, y _0\right)\)पर स्पर्श रेखा द्वारा, धनात्मक \(x\)-अक्ष के साथ बनाया गया कोण \(\frac{\pi}{3}\) हो तो \(y _0\) बराबर होगा-

मान लीजिए \(x\) में द्विघात समीकरण \((k^2 - 15k + 27)x^2 + 9(k-1)x + 18 = 0\) का एक मूल दूसरे मूल का दुगुना है। तो परवलय \(y^2 = 6kx\) के नाभिलंब की लंबाई किसके बराबर है?

जब-जब \(\alpha\) समीकरण \(x ^{2}+ ax + b =0\), का एक मूल है, \(\alpha^{2}-2\) भी इस समीकरण का एक मूल है। इसके लिए वास्ताविक संख्याओं के युग्मों \(( a , b )\) की संख्या है

समाकल \(\int_0^\pi \frac{8 x d x}{4 \cos ^2 x+\sin ^2 x}\) = ___

एक समान्तर चतुर्भुज की दो भुजायें, रेखा \(x + y =3\) तथा \(x-y+3=0\) के अनुदिश है। यदि इसके विकर्ण बिन्दु \((2,4)\) पर प्रतिच्छेद करते है, तो इसका एक शीर्ष होगा

माना \(S , xy\)-तल में स्थित ऐसी सभी त्रिभुजों का समुच्चय है जिनका एक शीर्ष मूल बिंदु पर है तथा दूसरे दो शीर्ष निर्देशांक अक्षों पर हैं तथा जिनके निर्देशांक पूर्णांकीय हैं। यदि \(S\) की प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल \(50\) वर्ग इकाई है, तो समुच्चय \(S\) के अवयवों की संख्या है

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

माना दो फलन \(f\) तथा \(g\), \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+1, & x < 0 \\|x-1|, & x \geq 0\end{array} \text { and } g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+1, & x < 0 \\1, & x \geq 0\end{array}\right. \text {. }\right.\) द्वारा परिभाषित हैं। तो \((gof) (x)\)

रेखिक समीकरण निकाय \(x+y+z=4 \mu\), \(x+2 y+2 \lambda z=10 \mu, x+3 y+4 \lambda^2 z=\mu^2+15\) जहाँ \(\lambda, \mu \in \mathrm{R}\) हैं का विचार कीजिए। निम्न कथनों में से कौन सा सही नहीं है ?

मान लीजिए अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{(2+\alpha) x-\beta y+2}{\beta x-2 \alpha y-(\beta \gamma-4 \alpha)} \quad\) का हल एक वृत्त को निरूपित करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है। तब इस वृत्त की त्रिज्या ........... है।

परवलय \(\mathrm{y}=\mathrm{x}^2\) पर तीन बिंदु \(\mathrm{O}(0,0), \mathrm{P}\left(\mathrm{a}, \mathrm{a}^2\right)\), \(\mathrm{Q}\left(-\mathrm{b}, \mathrm{b}^2\right), \mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0\) है। माना रेखा \(\mathrm{PQ}\) तथा परवलय से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल \(S_1\) है तथा त्रिभुज \(\mathrm{OPQ}\) का क्षेत्रफल \(\mathrm{S}_2\) है। यदि \(\frac{\mathrm{S}_1}{\mathrm{~S}_2}\) का न्यूनतम मान \(\frac{m}{n}, \operatorname{gcd}(m, n)=1\) है, तो \(m+n\) = ...........

n भुजाओं वाले एक बहुभुज के अंतः कोण समांतर श्रेणी (A.P.) में हैं, जिसका सार्व अंतर \(6^{\circ}\) है। यदि बहुभुज का सबसे बड़ा अंतः कोण \(219^{\circ}\) है, तो n = __________