\(\operatorname{cosec} 18^{\circ}\) निम्न में से किस समीकरण का एक मूल है?

बिंदु \((-1,2,-2)\) की समतलों \(2 x+3 y+2 z=0\) और \(x -2 y + z =0\) की प्रतिच्छेदन रेखा से दूरी है 

यदि \(A =\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 0 & -1\end{array}\right]\) है, तो \(\operatorname{det}\left( A ^{4}\right)+\operatorname{det}\left( A ^{10}-( Adj (2 A ))^{10}\right)\) का मान बराबर है

\( \alpha \) के सभी मानों का योग, जिनके लिए रेखाओं \( \frac{x+1}{\alpha}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-4}{-\alpha} \) और \( \frac{x}{\alpha}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2\alpha} \) के बीच की न्यूनतम दूरी \( \sqrt{2} \) है, वह ___ है।

माना बिंदुओं \((4,5,8)\) तथा \((1,-7,5)\) से होकर जाने वाली रेखा पर बिंदु \(\mathrm{P}(1,-2,3)\) से डाले गए लंब का पाद \(\mathrm{N}\) है। तो समतल \(2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}+5=0\) से \(\mathrm{N}\) की दूरी है

यदि वक्र \(x=4 t^{2}+3, y=8 t^{3}-1, t \in R\) के बिंदु \(P\), \(t\) प्राचल के साथ, पर स्पर्श रेखा, वक्र को दुबारा बिंदु \(Q\) पर मिलती है, तो \(Q\) के निर्देशांक हैं

दो अशून्य सम्मिश्र संख्या \(\mathrm{z}_1\) तथा \(\mathrm{z}_2\) के लिये यदि \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1 \mathrm{z}_2\right)=0\) तथा \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1+\mathrm{z}_2\right)=0\) हो, तो निम्न में से कौनसा संभव है ? (\(A\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(B\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(C\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) (\(D\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) नीचे दिये गये विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए :

फलन \(\cos ^{-1}\left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{4 x^2-1}\right)}{\pi}\right)\) का प्रांत है :

माना एक त्रिभुज, जिसके शीर्ष \(A ( a , 3), B ( b , 5)\) तथा \(C ( a , b ), ab > 0\) हैं, का परिकेन्द्र \(P (1,1)\) है। यदि रेखा \(AP\), रेखा \(BC\) के बिन्दु \(Q \left( k _1, k _2\right)\) पर काटती है, तो \(k _1+ k _2\) बराबर है:

यदि \(\left.\left(1+\frac{2}{3}+\frac{6}{3^{2}}+\frac{10}{3^{3}}+\ldots \ldots \infty \text { तक }\right)^{\log _{10251}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{j^{2}}+\frac{1}{j^{3}}+\ldots \ldots \infty\right. \text { तक }}\right)\) का मान \(l\) है, तो \(l^{2}\) बराबर है ................ |

यदि \(y = \tan^{-1}\left(\dfrac{3\cos x - 4\sin x}{4\cos x + 3\sin x}\right) + 2\tan^{-1}\left(\dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)\) है, तो \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) पर \(\dfrac{dy}{dx}\) का मान होगा:

\(m\) के पूर्णांक मानों की संख्या, जिसके लिये द्विघात व्यंजक \((1+2 m ) x ^{2}-2(1+3 m ) x +4(1+ m ), x \in R\) सदैव धनात्मक हो, होगी

बिंदु \(Q(0,2,-2)\) की उस रेखा से दूरी, जो बिंदु \(\mathrm{P}(5,-4,3)\) से होकर जाती है तथा रेखाओं \(\overrightarrow{\mathrm{r}}=(-3 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{k}})\) \(\lambda(2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathbb{R}\) और \( \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})+\) \(\mu(-\hat{i}+3 \hat{J}+2 \hat{K}), \mu \in \mathbb{R}\) के लंबवत है, वह ........... है।