\(\int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 x\right)^2} d x\) = ...........

माना \(y=y(x)\) अवकल समीकरण \(x\frac{dy}{dx}-y=x^{2}\cot x, x\in(0,\pi)\) का हल है। यदि \(y(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}\), तो \(6y(\frac{\pi}{6})-8y(\frac{\pi}{4})\) = ___ है।

माना \(C: x^2+y^2=4\) और \(C^{\prime}: x^2+y^2-4 \lambda x+9=0\) दो वृत्त हैं। यदि \(\lambda\) के सभी मानों का समुच्चय, जिसके लिए वृत्त \(\mathrm{C}\) और \(\mathrm{C}^{\prime}\) दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, \({R}-[a, b]\) है, तो बिंदु \((8 a+12,16 b-20)\) कौन से वक्र पर स्थित है?

माना रेखा \(\frac{\mathrm{x}}{1}=\frac{6-\mathrm{y}}{2}=\frac{\mathrm{z}+8}{5}\) रेखाओं \(\frac{x-5}{4}=\frac{y-7}{3}=\frac{z+2}{1}\) तथा \(\frac{x+3}{6}=\frac{3-y}{3}=\frac{z-6}{1}\) को क्रमशः बिंदुओं \(\mathrm{A}\) तथा \(\mathrm{B}\) पर काटती है, तो रेखाखंड \(\mathrm{AB}\) के मध्य बिंदु की समतल \(2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}=14\) से दूरी है

यदि एक अतिपरवलय की नाभियाँ, दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\) की नाभियों के समान हैं तथा अतिपरवलय की उत्केन्द्रता, दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता का \(\frac{15}{8}\) गुना है, तो अतिपरवलय पर बिन्दु \(\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)\) की छोटी नाभीय दूरी ........... है।

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

माना \(f(x)=\left|\begin{array}{ccc}\sin ^{2} x & -2+\cos ^{2} x & \cos 2 x \\ 2+\sin ^{2} x & \cos ^{2} x & \cos 2 x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x & 1+\cos 2 x\end{array}\right|, x \in[0, \pi]\)है, तो \(f ( x )\) का अधिकतम मान बराबर है .............|

माना \(Z\) एक सम्मिश्र संख्या है, जिसके लिए \(\frac{ z -1}{ z -1}\) पूर्ण रूप से काल्पनिक है, तो \(| z -(3+3 i )|\) का निम्नतम मान है 

माना \(S =2+\frac{6}{7}+\frac{12}{7^2}+\frac{20}{7^3}+\frac{30}{7^4}+\ldots .\). तो \(4 S\) बराबर है

माना \(S, k\) के ऐसे सभी वास्तविक मानों का समुच्चय है जिनके लिए निम्न रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल है। \(x+y+z=2\) \(2 x+y-z=3\) \(3 x+2 y+k z=4\) तो, \(S\) है

मान लीजिए कि \(f:[1, \infty) \rightarrow[2, \infty)\) एक अवकलनीय फलन है। यदि सभी \(\mathrm{x} \geq 1\) के लिए \(10 \int_1^{\mathrm{x}} f(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=5 \mathrm{x} f(\mathrm{x})-\mathrm{x}^5-9\) है, तो \(f(3)\) का मान क्या है?

माना \(\omega\) एक सम्मिश्र संख्या ऐसी है कि \(2 w +1=z\) जहाँ \(z=\sqrt{-3}\) है। यदि \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{ - {\omega ^2} - 1}&{{\omega ^2}}\\1&{{\omega ^2}}&{{\omega ^7}}\end{array}} \right| = 3k\) है तो \(k\) बराबर है:

मान लीजिए वृत्त \(C_1: x^2+y^2-2(x+y)+1=0\) और \(C_2\) एक वृत्त है जिसका केंद्र \((-1,0)\) पर है और त्रिज्या \(2\) है। यदि \(\mathrm{C}_1\) और \(\mathrm{C}_2\) की उभयनिष्ठ जीवा की रेखा \(\mathrm{y}\)-अक्ष को बिंदु \(\mathrm{P}\) पर प्रतिच्छेद करती है, तो \(\mathrm{P}\) की \(\mathrm{C}_1\) के केंद्र से दूरी का वर्ग ........... है।