माना \(S, k\) के ऐसे सभी वास्तविक मानों का समुच्चय है जिनके लिए निम्न रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल है। \(x+y+z=2\) \(2 x+y-z=3\) \(3 x+2 y+k z=4\) तो, \(S\) है

माना f और g ऐसे फलन हैं जो \( f(x+y)=f(x)f(y), f(1)=7 \) तथा \( g(x+y)=g(xy), g(1)=1 \) को सभी \( x, y\in\mathbb{N} \) के लिए संतुष्ट करते हैं। यदि \( \sum_{x=1}^{n}(\frac{f(x)}{g(x)})=19607, \) तो n = ___ है।

\('k'\) के पूर्णाकीय मानों, जिनके लिए समीकरण \(3 \sin x +4 \cos x = k +1\) का एक हल है, \(k \in R\) है, की संख्या है

माना \(O\) मूल बिंदु है तथा \(A\), बिंदु \(z _1=1+2 i\) है। यदि \(B\), बिंदु \(z _2, \operatorname{Re}\left( z _2\right) < 0\), है तथा \(OAB\) एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जिसका कर्ण \(OB\) है, तो निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है ?

यदि फलन \(f ( x )=\int \limits_0^{ x ^2} \frac{ t ^2-5 t +4}{2+ e ^{ t }} dt\) के स्थानीय उच्चिप्ठों व स्थानीय निम्निप्ठों की संख्या क्रमशः \(m\) व \(n\) हैं, तो क्रमित युग्म \(( m , n )\) बराबर है

माना \(\alpha, \beta\) तथा \(\gamma\) तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। माना \(f ( x )=\alpha x ^5+\beta x ^3+\gamma x , x \in R\) तथा \(g : R \rightarrow R\) इस प्रकार हैं कि सभी \(x \in R\) के लिए \(g ( f ( x ))= x\) है। यदि \(a _1, a _2, a _3, \ldots, a _n\) एक संमातर श्रेढ़ी में है, जिनका माध्य शुन्य है, तो \(f \left( g \left(\frac{1}{ n } \sum \limits_{ i =1}^{ n } f \left( a _{ i }\right)\right)\right)\) का मान बराबर है :

7 बल्लेबाजों और 6 गेंदबाजों के एक समूह से, एक टीम के लिए 10 खिलाड़ी चुने जाने हैं, जिसमें कम से कम 4 बल्लेबाज और कम से कम 4 गेंदबाज शामिल होने चाहिए। एक बल्लेबाज और एक गेंदबाज जो क्रमशः टीम के कप्तान और उप-कप्तान हैं, उन्हें टीम में शामिल किया जाना चाहिए। तो ऐसे चयन के तरीकों की कुल संख्या है:

माना \(P\) समतल, जो कि समतलों \(\overrightarrow{ r } \cdot(\hat{ i }+3 \hat{ j }-\hat{ k })=5\) तथा \(\overrightarrow{ r } \cdot(2 \hat{ i }-\hat{ j }+\hat{ k })=3 \quad\) के प्रतिच्छेद तथा बिन्दु \((2,1,-2)\) से गुजरता है। माना बिन्दु \(X\) तथा \(Y\) के स्थित सदिश क्रमश: \(\hat{ i }-2 \hat{ j }+4 \hat{ k }\) तथा \(5 \hat{ i }-\hat{ j }+2 \hat{ k }\) है। तब बिन्दु

वह सभी युग्म \(( x , y )\) जो असमिका \(2 \sqrt{\sin ^{2} x-2 \sin x+5} \cdot \frac{1}{4^{\sin ^{2} y}} \leq 1\) को संतुष्ट करते हैं, निम्न में से किस समीकरण को भी संतुष्ट करते हैं ?

यदि \(f(t)=\int_0^\pi \frac{2 x d x}{1-\cos ^2 \sin ^2 x}, 0 < t < \pi\), तो \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 d t}{f(t)}\) = ...........

माना अवकल समीकरण \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{(\tan \mathrm{x})+\mathrm{y}}{\sin \mathrm{x}(\sec \mathrm{x}-\sin \mathrm{x} \tan \mathrm{x})}, \mathrm{x} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) के हल \(y=y(x)\) के लिए \(y\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\) है। तो, \(y\left(\frac{\pi}{3}\right)\) = ...........

माना अवकल समीकरण \(\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x}), \mathrm{y}>0\), का एक हल वक्र \(\left(1+x^2\right) d y=y(x-y) d x\) हैं। यदि \(y(0)=1\) तथा \(y(2 \sqrt{2})=\beta\) है, तो

दो सदिशों \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) पर विचार कीजिए। उनके बीच का कोण \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) द्वारा दिया गया है। माना \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), जहाँ \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के समांतर है और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के लंबवत है। तो \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) का मान क्या है?