પારદર્શક પ્રિઝમ માટે જે લધુત્તમ વિચલન કોણ તેના વકીભવન કોણ જેટલો હોય, તો પ્રિઝમનો વકીભવનાંક \(n\) _________ નું પાલન કરશે.

સ્પષ્ટીકરણ:
પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક (\( n \)), પ્રિઝમ કોણ (\( A \)) અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ (\( \delta_{\text{min}} \)) વચ્ચેનો સંબંધ પ્રિઝમના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
\( n = \frac{\sin\left(\frac{A + \delta_{\text{min}}}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} \)

1. આપેલ શરત લાગુ કરતાં:
પ્રશ્ન મુજબ, લઘુત્તમ વિચલન કોણ એ પ્રિઝમના વક્રીભવન કોણ જેટલો જ છે (\( \delta_{\text{min}} = A \))। આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતાં:
\( n = \frac{\sin\left(\frac{A + A}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{\sin A}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} \)

ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ \( \sin A = 2\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right) \) નો ઉપયોગ કરતાં:
\( n = \frac{2\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} = 2\cos\left(\frac{A}{2}\right) \)

2. સીમિત શરતો નક્કી કરતાં:
લઘુત્તમ વિચલન માટે, આપાતકોણ (\( i \)) નીચે મુજબ મળે છે:
\( i = \frac{A + \delta_{\text{min}}}{2} = \frac{A + A}{2} = A \)
પ્રકાશના કિરણને પ્રિઝમની અંદર પ્રવેશવા માટે, આપાતકોણનું મૂલ્ય પ્રક્ષિપ્ત કોણ \( 90^\circ \) કરતાં ઓછું હોવું અનિવાર્ય છે:
\( i < 90^\circ \implies A < 90^\circ \)

વાસ્તવિક પ્રિઝમ માટે ખૂણો \( A \) હંમેશાં ધન હોવાથી, \( A \) નો વિસ્તાર:
\( 0^\circ < A < 90^\circ \implies 0^\circ < \frac{A}{2} < 45^\circ \)

3. વક્રીભવનાંકનો વિસ્તાર મેળવતાં:
આ અસમતા પર કોસાઈન (cosine) વિધેય લાગુ કરતાં (\( 0^\circ \) થી \( 45^\circ \) તરફ જતાં cos નું મૂલ્ય ઘટતું હોવાથી અસમતાની નિશાની બદલાશે):
\( \cos(45^\circ) < \cos\left(\frac{A}{2}\right) < \cos(0^\circ) \)
\( \frac{1}{\sqrt{2}} < \cos\left(\frac{A}{2}\right) < 1 \)

આખી અસમતાને 2 વડે ગુણતાં:
\( 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} < 2\cos\left(\frac{A}{2}\right) < 2 \cdot 1 \)
\( \sqrt{2} < n < 2 \)

આથી, સાચો જવાબ વિકલ્પ D છે.