\((\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}+(\mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}\) ના વિસ્તરણમાં  \(x^{4}\) અને \(x^{2}\) ના સહગુણકો \(\alpha\) અને \(\beta\) હોય તો  . . . .  

સમીકરણ\(x ^{4}-4 x +1=0\)નાં ભિન્ન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા \(\dots\dots\dots\dots\)છે.

પરવલય \(y^2\, = 8x\) ને બિંદુ \((- 8, 0)\) માંથી દોરેલો સ્પર્શક પરવલયને અનુક્રમે બિંદુ \(P\) અને \(Q\) માં છેદે છે જો \(F\) એ પરવલયની નાભી હોય તો ત્રિકોણ \(PFQ\) નું ક્ષેત્રફળ ચો એકમમાં ............ થાય 

બિંદુ \(P\) આગળ વક્ર \(\mathrm{y}^{2}-3 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}+10=0\) નો અભિલંબ \(\mathrm{y}\) -અક્ષને બિંદુ  \(\left(0, \frac{3}{2}\right) \)આગળ છેદે છે. જો \(\mathrm{m}\) એ બિંદુ \(\mathrm{P}\) આગળના વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ હોય તો  \(|\mathrm{m}|\) મેળવો.

ધારોકે વિકલ સમીકરણ \(\left(\log _e(\cos y)\right)^2 \cos y d x-\left(1+3 x \log _e(\cos y)\right) \sin y d y=0\) નો ઉકેલ વક્ર \(x=x(y), 0 < y < \frac{\pi}{2}\) એ \(x\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2 \log _e 2}\) નું સમાધાન કરે છે. જો \(x\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\log _e m-\log _e n}\) હોય, જ્યાં \(m\) અને \(n\) પરસ્પર અવિભાજ્ય છે, તો \(m n=..........\)

સમીકરણોની સંહતિ \(7 x+6 y-2 z=0\) ; \(3 x+4 y+2 z=0\) ; \({x}-2{y}-6{z}=0,\) ને.. . . . . 

એક ગોળાકાર દડો કે જેની ત્રિજ્યા \(10 \;\mathrm{cm}\) છે તેના પર બરફનું એક પડ નિયમિત રીતે જામેલ છે અને  તે \(50\; \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{min}\) ના દરે ઓગળે છે. જ્યારે બરફની જાડાઈ \(5 \;\mathrm{cm},\) હોય ત્યારે બરફની જાડાઈ ઘટવાનો દર મેળવો.  ( \(\mathrm{cm} / \mathrm{min}\) માં ) 

જો  \(S _{1}, S _{2}\) અને \(S _{3}\) એ ત્રણ ગણ છે કે જે  \(S _{1}=\{ z \in C :| z -1| \leq \sqrt{2}\}\) ; \(S  _{2}=\{ z \in C : \operatorname{Re}((1- i ) z ) \geq 1\}\); \(S _{3}=\{ z \in C : \operatorname{Im}( z ) \leq 1\}\) રીતે આપેલ છે તો ગણ \(S _{1} \cap S _{2} \cap S _{3}\) મેળવો.

\(\Delta ABC\) માં , બાજુઓ \(AB, BC, CA\) પર અનુક્રમે \( 3, 4, 5\) બિંદુઓ આપેલ છે ( શિરોબિંદુઓ \(A, B, C\) ને સમાવતા ) . તો આ શિરોબિંદુઓને કરીને કેટલાં ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે ?

જો સમીકરણ \(a| z |^{2}+\overline{\bar{\alpha} z +\alpha \overline{ z }}+ d =0\) એ વર્તુળ દર્શાવે છે કે જ્યાં  \(a,d\) એ વાસ્તવિક અચળાંક છે તો આપેલ પૈકી કઈ શરત સત્ય છે ?

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

જો રેખા \(\frac{{x\, - \,1}}{2}\, = \,\frac{{y\, + \,1}}{3}\, = \,\frac{{z\, - \,2}}{4}\) એ સમતલ \(x + 2y + 3z = 15\) ને બિંદુ \(P\) માં છેદે છે તો \(P\) નું ઉગમબિંદુથી અંતર મેળવો.

જો \([.]\) એ મહત્તમ પૂર્ણાંક હોય તો \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{{\tan \,(\pi \,{{\sin }^2}\,x) + \,{{(\left| x \right|\, - \,\sin \,(x\,[x]))}^2}}}{{{x^2}}}\) =