સંખ્યાઓ \(8,21,34,47, \ldots, 320\) નું વિચરણ __________ છે.

જો વક્ર \(x^{2}+2 y^{2}=2,\) રેખા \(x + y =1\) ને બે બિંદુઓ \(P\) અને \(Q\) એ છેદે, તો રેખાખંડ \(PQ\) એ ઊગમબિંદુ આગળ આંતરેલ ખૂણો ........ થાય.

ધારો કે એક શ્રણીનું પ્રથમ પદ \(T_1=6\) છે એ તેનું \(r\) મું પદ \(T_r=3 T_{r-1}+6^r, r=2,3, \ldots . . ., n\) છે. જો આ શ્રેણીનાં પ્રથમ \(n\) પદોનો સરવાળો \(\frac{1}{5}\left(n^2-12 n+39\right)\left(4 \cdot 6^n-5 \cdot 3^n+1\right)\) હોય, તો \(n\) = ...........

જ્યારે બે સમતોલ પાસાઓને ફેંક્વામાં આવે ત્યારે આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો ધારોકે \(N\) હોય અને \(N-2, \sqrt{3 N}, N+2\) એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય તેની સંભાવના ધારોકે \(\frac{k}{48}\) છે. તો \(k\) નું મૂલ્ય \(..........\) છે.

ધારોકે \(p\) અને \(q\) બે એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી \(p+q=3\) અને \(p^{4}+q^{4}=369\). તો \(\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)^{-2}=\)

\(f(x)=\left|\log _{ e } x\right|-|x-1|\) મુજબ વ્યાખ્યાયિત વિધેય \(f:(0, \infty) \rightarrow R\) માટે નીચેના ત્રણ વિધાનો ધ્યાને લોઃ
(I) દરેક x > 0 માટે 5 વિકલનીય છે.
(II) (0, 1) માં f વધે છે.
(III) \((1, \infty)\) માં f ઘટે છે.
તો,

ધારો કે [t] એ t કે તેથી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. જો વિધેય
\(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}b^2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\left[\frac{\pi}{2}(\cos x+\sin x) \cos x\right]\right), & x<0 \\ \frac{\sin x-\frac{1}{2} \sin 2 x}{x^3} & , x>0 \\ a & , x=0\end{array}\right.\)
એ x = 0 પર સતત હોય, તો a² + b² = ___ .

ધારોકે સદિશો \(\overrightarrow{ a }=(1+ t ) \hat{i}+(1- t ) \hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{ b }=(1- t ) \hat{i}+(1+ t ) \hat{j}+2 \hat{k}\) અને \(\overrightarrow{ c }= t \hat{i}- t \hat{j}+\hat{k}, t \in R\) એવા છે કે જેથી \(\alpha, \beta, \gamma \in R\) માટે, \(\alpha \overrightarrow{ a }+\beta \overrightarrow{ b }+\gamma \overrightarrow{ c }=\overrightarrow{0} \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0\). તો \(t\) ની તમામ કિંમતોનો ગણ એ ..................

જ્યારે તટસ્થ પાસાને ફેક્વામા આવે છે ત્યારે ઉપર આવતી સંખ્યાને ધારોકે \(N\) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જો સમીકરણ સંહતિ \(x+y+z=1\)  ;   \(2 x+N y+2 z=2\)  ;  \(3 x+3 y+N z=3\) ને અનન્ય ઉકેલ હોવાની સંભાવના \(\frac{k}{6}\) હોય, તો \(k\) નું મૂલ્ય તથા \(N\) ની શક્ય તમામ કિંમતો નો સરવાળો \(...........\) છે.

અહી \(a, b\) અને \(c\) એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે. જો સદીશો \(a \hat{i}+a \hat{j}+c \hat{k}, \hat{i}+\hat{k}\) અને \(c \hat{i}+c \hat{j}+b \hat{k}\) એ સમતલીય હોય તો \(\mathrm{c}\) મેળવો.

ધારો કે  \(k\) એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે  અને વિધેય  \(f(x) = {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\left( {{e^x} - 1} \right)^2}}{{\sin {\mkern 1mu} \left( {\frac{x}{k}} \right){\mkern 1mu} \log {\mkern 1mu} \left( {1 + \frac{x}{4}} \right)}}{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} x \ne 0}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 12{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }
\end{array}} \right.\)   એ સતત વિધેય હોય તો \(k\) ની કિમંત મેળવો.

જો \(f ( x )= |x -2|\) અને \(g ( x )= f ( f ( x )), x \in[0,4]\) હોય તો \(\int \limits_{0}^{3}(g(x)-f(x)) d x\) ની કિમત શોધો 

ધારો કે \(\dfrac{x^2}{f(a^2+7a+3)} + \dfrac{y^2}{f(3a+15)} = 1\) એ \(y\)-અક્ષ પર પ્રધાન અક્ષ ધરાવતા ઉપવલયને દર્શાવે છે, જ્યાં \(f\) એ \(\mathbb{R}\) પર સખત રીતે ઘટતું ધન વિધેય છે. જો \(a\) ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગણ \(\mathbb{R} - [\alpha, \beta]\) હોય, તો \(\alpha^2+\beta^2\) બરાબર છે: