રેખાઓ \(\frac{x-4}{4}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+3}{3}\) અન \(\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{2}\) વચ્યેનું ન્યૂનતમ અંતર \(...........\) છે.

વક્ર \(y = y(x)\) ના કોઈ બિંદુ  \((x, y)\) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ  \(\frac{{2y}}{{{x^2}}}\) છે અને વક્રએ વર્તુળ \(x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0\) ના કેન્દ્ર માંથી પસાર થાય છે તો વક્રનું સમીકરણ મેળવો.

જો \((1+x)^n\) નાં વિસ્તરણામાં \(x^4, x^5\) અને \(x^6\) નાં સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો \(n\) નું મહતમ મૂલ્ય .......... છે.

જો \(\frac{6}{3^{12}}+\frac{10}{3^{11}}+\frac{20}{3^{10}}+\frac{40}{3^{9}}+\ldots . .+\frac{10240}{3}=2^{ n } \cdot m\), કે જ્યાં  \(m\) એ અયુગ્મ છે તો \(m . n\) ની કિમંત મેળવો.

જો \(\tan \mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{x\left(x^2+x+1\right)}}, \tan B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}\) અને  \(\tan C=\left(x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}\right)^{\frac{1}{2}}, 0 < A, B, C < \frac{\pi}{2}\) હોય, તો \(A+B\) = ...........

જો ત્રણ સદીશો \(\vec a\, = \,\hat i\, + \,\hat j\, + \,\sqrt 2 \hat k,\,\,\vec b\, = \,{b_1}\hat i\, + \,{b_2}\hat j\, + \sqrt 2 \hat k\) અને \(\vec c\, = \,5\hat i\, + \,\hat j + \sqrt 2 \hat k\) છે કે જેથી  \(\vec b\) નો \(\vec a\) પરનો પ્રક્ષેપ \(\vec a\) છે . જો \(\vec a\, + \vec b\) એ \(\vec c\) ને લંબ હોય તો \(\left| {\vec b} \right|\) મેળવો.

આપેલ વિધાન જુઓ: \((S1):\) \(2023^{2022}-1999^{2022}\) એ \(8\) વડે વિભાજ્ય છે. \((S2)\) : \(13(13)^{ n }-11 n -13\) એ \(144\) વડે અનંત  \(n \in N\) માટે વિભાજ્ય છે..

ધારો કે \(P (-2,-1,1)\) અને \(Q \left(\frac{56}{17}, \frac{43}{17}, \frac{111}{17}\right)\) એ સમબાજું ચતુષ્કોણ \(PRQS\) ના શિરોબિંદુઓ છે. જે વિકર્ણ \(RS\) ના દિકગુણોત્તર \(\alpha,-1, \beta\) હોય, જ્યાં \(\alpha\) અને \(\beta\) બંને ન્યૂનતમ નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતાં પૂર્ણાકોં હોય, તો \(\alpha^{2}+\beta^{2}=\)....................

જો સદીશો \(\vec{a}, \vec{b}\) અને  \(\vec{c}\) એ એકમ સદીશો છે કે જેથી \(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0} .\) જો \(\lambda=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}} \) અને  \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}},\) તો \((\lambda, {\mathrm{\vec d}})\) ની ક્રમયુક્ત જોડ મેળવો.

\(x\) ની કઈ કિમંત સમીકરણ \(\sin \left[ {{{\cot }^{ - 1}}\left( {1 + x} \right)} \right] = \cos \left[ {{{\tan }^{ - 1}}\,x} \right]\) નું પાલન કરે છે ?

સમક્ષિતિજ જમીન પર એક શિરોલંબ સ્તંભને \(3: 7\) ગુણોતરમાં એક નિશાની કરવામાં આવી છે કે જેથી નીચેનો ભાગ એ ઉપરના ભાગ કરતાં નાનો રહે.  જો સ્તંભના તળિયેથી જમીન પર \(18\, \mathrm{~m}\) દૂર આવેલ બિંદુ આગળ બંને ભાગ સમાન માપનો ખૂણો બનાવે છે તો સ્તંભની ઊંચાઈ મેળવો.

ધારોકે
\(A =\{z \in C :|z-2| \leqslant 4\}\) અને
\(B=\{z \in C :|z-2|+|z+2|=5\}\).
તો \(\max \left\{\left|z_1-z_2\right|: z_1 \in A\right.\) અને \(\left.z_2 \in B\right\}\) એ ___ છે.

જો \(\alpha>0, \beta>0\) એવા મળે કે જેથી \(\alpha^{3}+\beta^{2}=4\) થાય અને \(\left(\alpha x^{\frac{1}{9}}+\beta x^{-\frac{1}{6}}\right)^{10}\) ના વિસ્તરણમાં \(x\) થી સ્વત્રંત પદ \(10 k\) થાય તો \(\mathrm{k}\) ની કિમત મેળવો