જો \(0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}\) અને \(\frac{\sin ^{-1} x}{\alpha}=\frac{\cos ^{-1} x}{\beta}\) હોય તો  \(\sin \left(\frac{2 \pi \alpha}{\alpha+\beta}\right)\) ની કિમંત મેળવો.

સમીકરણ \(e^{4 x}+4 e^{3 x}-58 e^{2 x}+4 e^{x}+1=0\) નાં વાસ્તવિક ઉંકેલોની સંખ્યા..........

જો સદીશો \(\vec{a}, \vec{b}\) અને  \(\vec{c}\) એ એકમ સદીશો છે કે જેથી \(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0} .\) જો \(\lambda=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}} \) અને  \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}},\) તો \((\lambda, {\mathrm{\vec d}})\) ની ક્રમયુક્ત જોડ મેળવો.

ધારો કે \(\mathrm{A}=\{1,3,7,9,11\}\) અને \(\mathrm{B}=\{2,4,5,7,8,10,12\}\). તો \(f(1)+f(3)=14\) થાય તેવા એક-એક વિધેયો \(f: A \rightarrow B\) ની કુલ સંખ્યા .......... છે.

પ્રદેશ \(\left\{(x, y): x y \leq 8,1, \leq y \leq x^2\right\}\)નું ક્ષેત્રફળ \(.......\) છે.

અહી  \(A=\left(\begin{array}{cc}4 & -2 \\ \alpha & \beta\end{array}\right)\) છે. જો \(A ^{2}+\gamma A +18 I = O\) હોય તો \(\operatorname{det}( A )\) ની કિમંત મેળવો.

જેનું શિરોબિંદુ \((5,4)\) આગળ અને નિયામિકા \(3 x+y-29=0\) હોય તેવા પરવલયનું સમીકરણ જો \(x^{2}+a y^{2}+b x y+c x+d y+k=0\) હીય. તો \(a+b+c+d+k=\)

જો વિધેય \(f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{Z}\) ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવેલ હોય:
\(f(n) = \begin{vmatrix} n & -1 & -5 \\ -2n^2 & 3(2k+1) & 2k+1 \\ -3n^3 & 3k(2k+1) & 3k(k+2)+1 \end{vmatrix}\), \(k \in \mathbf{N}\),
અને \(\sum_{n=1}^{k} f(n) = 98\) હોય, તો \(k\) બરાબર છે :

રેખા \(l_1\) એ \(О\) બિંદુ \((2,6,2)\) માંથી. પસાર થાય છે તથા સમતલ \(2 x+y-2 z=10\)ને લંબ છે.તો રેખા \(l_1\) અને રેખા \(\frac{x+1}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z}{2}\) વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર \(..........\) છે.

જો કોઈક \(k\) માટે  \(\alpha \) અને  \( \beta \) સમીકરણ  \({x^2} - 4\sqrt 2\,kx + 2\,{e^{4\ln \,k}} - 1 = 0\) ના ઉકેલ હોય અને  \({\alpha ^2} + {\beta ^2} = 66\) હોય તો  \({\alpha ^3} + {\beta ^3}\) ની કિમત મેળવો. 

જો \(a, b, c\) સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને \(a^2, b^2, c^2\) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય કે જેથી \( a <  b\) \( < c\) અને \(a+b+c\,= \frac{3}{4}\) હોય તો \(a\) ની કિમત મેળવો. 

ધારોકે એક સમતોલ પાસાને ઉછાળતા સંખ્યા n આવે છે. જો સમીકરણ સંહતિ
\(x- n y+z=6\)
\(x+( n -2) y+( n +1) z=8\)
\(( n -1) y+z=1\)
ને અનન્ય ઉકેલ હોય તેની સંભાવના \(\frac{k}{6}\) હોય, તો k તથા n ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો ___ છે.

જો \(\int \limits_{0}^{\sqrt{3}} \frac{15 x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}} d x=\alpha \sqrt{2}+\beta \sqrt{3}\) જ્યાં \(\alpha, \beta\) એ પૂર્ણાકો છે, તો \(\alpha+\beta=\) ............