ધારોકે સંકર સમતલમાં કેન્દ્ર \(z _0=\frac{1}{2}(1+3 i)\) અને ત્રિજ્યા \(r=1\) વાળુ વર્તુળ \(C\) છે. ધારોકે \(z_1=1+ i\) અને સંકર. સંખ્યા \(z_2\) એ વર્તુળ \(C\) ની બહાર એ રીતે આવેલ છે કે જેથી \(\left|z_1-z_0\right|\left|z_2-z_0\right|=1\).જો \(z_0, z_1\) અને \(z_2\) સમરેખ હોય, તો \(\left|z_2\right|^2\) ની નાની કિંમત \(.........\) છે.

ધારો કે, ચોરસ OABC ની બાજુની લંબાઈ 'a' છે, જ્યાં \(O\) ઉગમબિંદુ છે. તેની બાજુ OA ધન \(x\)-અક્ષ સાથે લઘુકોણ \(\alpha\) બનાવે છે અને તેના વિકર્ણોના સમીકરણો \((\sqrt{3}+1) x+(\sqrt{3}-1) y=0\) અને \((\sqrt{3}-1) x-(\sqrt{3}+1) y+8 \sqrt{3}=0\) છે. તો, \(\mathrm{a}^2\) = __________

[t] એ t થી નાનો અથવા t ની બરાબર હોય તેવો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક છે. તો \(\mathrm{p} \in \mathbf{N}\) નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય જેના માટે \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x\left(\left[\frac{1}{x}\right]+\left[\frac{2}{x}\right]+\ldots+\left[\frac{\mathrm{p}}{x}\right]\right)-x^2(\left[\frac{1}{x^2}\right]+\left[\frac{2^2}{x^2}\right]\) \(+\ldots+\left[\frac{9^2}{x^2}\right])) \geq 1\) છે, તે ________ છે.

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1^2-1\right)(n-1)+\left(2^2-2\right)(n-2)+\ldots .+\left((n-1)^2-(n-1)\right) \cdot 1}{\left(1^3+2^3+\ldots .+n^3\right)-\left(1^2+2^2+\ldots . .+n^2\right)}\) ની કિમંત મેળવો.

બે પાસા સ્વતંત્ર રીતે ઉછાળવામાં આવે છે. ધારો કે પહેલા પાસા પર આવેલ સંખ્યા એ બીજ પાસા પર આવેલ સંંખ્યાથી નાની હોય તે ઘટના \(A\) છે, તથા પ્રથમ પાસા ૫ર યુગ્મ સંખ્યા આવે અને બીજા પાસા પર અયુગ્મ સંખ્યા આવે તે ઘટના \(B\) છે.વધુમાં ધારોકે પ્રથમ પાસા પર અયુગ્મ સંખ્યા આવે અને બીજા પાસા પર યુગ્મ સંખ્યા આવે તે ઘટના  \(C\) છે.તો,:

\(PQR\) એ એક ત્રિકોણીય પાર્ક છે જયાં \(PQ = PR = 200\ m.\) \(QR\) ના મધ્યબિંદુએ એક ટીવી ટાવર ઉભો કરેલ છે. આ ટાવર ઉભો કરેલ છે. આ ટાવરના ટોચનો \(P,Q\) અને \(R\) આગળનો ઉત્સેધકોણો અનુક્રમે \(45^\circ ,30^\circ \) અને \(30^\circ \)હોય ,તો આ ટાવરની ઊંચાઇ . . . છે.

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

ધારોકે \(A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{-3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right]\) અને \(B=\left[\begin{array}{cc}1 & -i \\ 0 & 1\end{array}\right]\), જ્યાં \(i=\sqrt{-1} .81 M = A ^{ T } B A\) હોયય, તો શ્રેણિક \(AM ^{2023} A ^{ T }\) નો વ્યસ્ત \(.........\) છે.

ધારો કે \(f:[1, \infty) \rightarrow[2, \infty)\) એક વિકલનીય વિધેય છે. જો બધા જ \(\mathrm{x} \geq 1\) માટે \(10 \int_1^{\mathrm{x}} f(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=5 \mathrm{x} f(\mathrm{x})-\mathrm{x}^5-9\) હોય, તો \(f(3)\) નું મૂલ્ય શું છે?

જો \(\alpha\) અને \(\beta\) એ સમીકરણ \(5 x^{2}+6 x-2=0\) ના બીજો હોય અને \(S_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}, n=1,2,3 \ldots\) હોય તો 

જો છ અવલોકનો \(7,10,11,15, a, b\) નો મધ્યક અને મધ્યસ્થ અનુક્રમે \(10\) અને \(\frac{20}{3}\), હોય તો  \(|a-b|\) ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે \(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{39}\) એ સંખ્યાઓ \(59\) અને \(159\) ની વચ્ચેના \(39\) સમાંતર મધ્યકો છે. તો \(A_{25}, A_{28}, A_{31}\) અને \(A_{36}\) નો મધ્યક બરાબર છે :

સમીકરણ \(x+y+z=21\), જ્યાં \(x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4\), ના પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા \(..........\) છે.