ધારોકે \(A\) એ કક્ષા \(3 × 3\) વાળો શ્રેણિક છે અને \(\operatorname{det}(A)=2\) છ. તો \(\operatorname{det}\left(\operatorname{det}(A) \operatorname{adj}\left(5 \operatorname{adj}\left(A^{3}\right)\right)\right)=\)................

જો A \((a, b), B(3,4)\) અને \(C(-6, -8)\) એ ત્રિકોણના અનુક્રમે કેન્દ્ર પરિકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્ર છે. તો રેખા \(2 x+\) \(3 y-4=0\) ને સમાંતર રેખા \(x-2 y-1=0\) થી બિંદુ \(\mathrm{P}(2 \mathrm{a}+3,7 \mathrm{~b}+5)\) નું અંતર મેળવો.

\(\mathop \smallint \limits_2^4 \frac{{\log {x^2}}}{{\log {x^2} + {\rm{log}}\left( {36 - 12x + {x^2}} \right)}}\;dx = \)

જો \(\left({ }^{30} C _1\right)^2+2\left({ }^{30} C _2\right)^2+3\left({ }^{30} C _3\right)^2+\ldots \ldots+30\left({ }^{30} C _{30}\right)^2=\) \(\frac{\alpha 60 !}{(30 !)^2}\) હોય,તો \(\alpha=............\)

ધારોકે \(A=\{ x \in R :[ x +3]+[ x +4] \leq 3\}\), \(B=\left\{x \in R : 3^x\left(\sum_{x=1}^{\infty} \frac{3}{10^x}\right)^{x-3} < 3^{-3 x}\right\}\) જ્યાં \([t]\) મહત્તમ પૂર્ણાક વિધેય દર્શાવે છે,તો

જો \(f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{|x|} & ; & |x| \geq 1 \\ a x^{2}+b & ; & |x|<1\end{array}\right.\) એ પોતાના પ્રદેશ પર વિકલનીય હોય તો \(a\) અને \(b\) ની કિમંતો અનુક્રમે  . . .  થાય .

ધારોકે \(f ( x )\) એ \([0, 2]\) પર વ્યાખ્યાયિત એવું વિક્લનીય વિધેય છે કે જેથી પ્રત્યેક \(x \in(0,2)\) મા\(f^{\prime}(x)=f^{\prime}(2-x),f (0)=1\) અને \(f (2)= e ^{2}\) થાય. તો \(\int_{0}^{2} f ( x ) dx\) નું મૂલ્ય ....... છે.

ધારો કે \(\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}, \vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}\), જ્યાં \(\alpha\) અને \(\beta\) પૂર્ણાંકો છે અને \(\alpha \beta=-6\). જેના માટે \(\vec{a}+\vec{b}\) અને \(\vec{b}+\vec{c}\) વિકર્ણો વાળા સમાંતર બાજુ ચતુષ્ણકોનું ક્ષેત્રફળ \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) થાય, તેવી ક્રમયુક્ત જોડ \((\alpha, \beta)\) ની કિંમત \(\left(\alpha_1, \beta_1\right)\) અને \(\left(\alpha_2, \beta_2\right)\) છે. તો \(\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2=\) ...........

જો ત્રિકોણ \(A B C\) માં બાજુઓ \(A B, B C\) અને \(C A\) પર શિરોબિંદુની વચ્ચે આવેલ બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે \(3,5\) અને \(6\)  છે તો આ બિંદુઓ માંથી કેટલા ત્રિકોણ બનાવી શકાય.

જો \(S=\left\{x \in R : \sin ^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2 x+2}}\right)-\sin ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{\pi}{4}\right\}\) હોય,તો \(\sum_{x \in R }\left(\sin \left(\left(x^2+x+5\right) \frac{\pi}{2}\right)-\cos \left(\left(x^2+x+5\right) \pi\right)\right)=........\).

વિધાન \(-1\) : સમીકરણો  \(x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0\) ;\(x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0\) ;\(x - \left( {\sin \,\alpha } \right)y - \left( {\cos \alpha } \right)z = 0\) ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ \(\alpha \) ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) તેના માટે ધરાવે છે . વિધાન \(-2\) : સમીકરણ કે જે \(\alpha \) સ્વરૂપ માં છે \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \cos {\mkern 1mu} \alpha } 
\end{array}} \right| = 0\) નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) માં છે .

જો સમીકરણ પ્રણાલી \( 3x+y+4z=3 \), \( 2x+ay-z=-3 \), \( x+2y+z=4 \) ને કોઈ ઉકેલ ન હોય, તો a નું મૂલ્ય ........... છે.

ધારોકે \(\Delta\) એ પ્રદેશ \(\left\{(x, y) \in R ^2: x^2+y^2 \leq 21, y^2 \leq 4 x, x \geq 1\right\}\) નું ક્ષેત્રફળ છે. તો \(\frac{1}{2}\left(\Delta-21 \sin ^{-1} \frac{2}{\sqrt{7}}\right)=................\)