ધારો કે \(\mathrm{S}=\left\{\mathrm{m} \in \mathbf{Z}: \mathrm{A}^{\mathrm{m}^2}+\mathrm{A}^{\mathrm{m}}=3 \mathrm{I}-\mathrm{A}^{-6}\right\}\), જ્યાં \(\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\). તો \(\mathrm{n}(\mathrm{S})\) = ___

ધારો કે \(y=x+2,4 y=3 x+6^2 y^2 3 y=4 x+1\) અને \(3 y=4 x+1\) એ વર્તુળ \((x- h )^2+(y- k )^2= r ^2\) ની ત્રણ સ્પર્શ રેખાઓ છે.તો \(h+k=..........\)

\(\left(2x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^{10}\) ના વિસ્તરણમાં \(x^2\) નો સહગુણક, જ્યાં \(x \neq 0\), છે :

\( \frac{\sqrt{3}\text{cosec } 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}} \) નું મૂલ્ય ___ છે.

ધારોકે સદિશ \(\overrightarrow{ a }=\sqrt{2} \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}, \lambda>0\) એ સદિશ \(\overrightarrow{ b }=-\lambda^2 \hat{i}+4 \sqrt{2} \hat{j}+4 \sqrt{2} \hat{k}\) સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે, તથા ધન z-અક્ષ સાથે ખૂણો \(\theta, \frac{\pi}{6}<\theta<\frac{\pi}{2}\) બનાવે છે. જો \(\lambda\) ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ \((\alpha, \beta)-\{\gamma\}\) હોય, તો \(\alpha+\beta+\gamma =\) ___ .

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2^{a}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2^{a}}}}+\ldots \ldots+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2^{a}-1}{2^{n}}}}\right)\) ની કિમંત મેળવો.

એક ચલ સમતલ કે જે બિંદુ \((3,2,1)\) માંથી પસાર થાય છે અને અક્ષો \(x, y\) અને \(z\) ને અનુક્રમે  \(A, B\) અને \(C\) બિંદુઓમાં છેદે છે . એક સમતલ દોરવામાં આવે છે કે \(yz-\) સમતલ ને સમાંતર હોય અને બિંદુ \(A\) માંથી પસાર થાય , બીજું સમતલ દોરવામાં આવે છે કે \(zx-\) સમતલ ને સમાંતર હોય અને બિંદુ \(B\) માંથી પસાર થાય , ત્રીજું સમતલ દોરવામાં આવે છે કે \(xy-\) સમતલ ને સમાંતર હોય અને બિંદુ \(C\) માંથી પસાર થાય  છે તો આ ત્રણેય સમતલનું છેદબિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ મેળવો.

ધારો કે \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\). જો \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) એવો સદિશ છે કે જેથી \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) તથા \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) વચ્ચેનો ખૂણો \(\frac{\pi}{4}\) છે, તો \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___

અહી \(\mathrm{f}\) એ અંતરાલ \([0,2]\) પર સતત છે અને અંતરાલ \((0,2)\) પર દ્રીતીય વિકલનીય છે . જો  \(\mathrm{f}(0)=0, \mathrm{f}(1)=1\) અને \(f(2)=2\) હોય તો  . .. .  .

ધારો કે \(a\) અને \(b\) એ બે ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. જેનું પ્રથમ પદ \(a\) અને ત્રીજું પદ \(b\) હોય તેવી એક સમગુણોતર  શ્રેણી (\(G.P.\))નું \(11\) મું પદ તથા જેનું પ્રથમ પદ \(a\) અને પાંચમું પદ \(b\) હોય તેવી એક બીજી \(G.P.\) નું \(p\) મું પદ સમાન છે. તો \(p =\) ...........

ધારો કે \(\overrightarrow{ a }=\hat{ i }+2 \hat{ j }-\hat{ k }, \overrightarrow{ b }=\hat{ i }-\hat{ j }\) અને \(\overrightarrow{ c }=\hat{ i }-\hat{ j }-\hat{ k }\) આપેલ ત્રણ સદિશો છે. જો \(\overrightarrow{ r }\) એ એક એવો સદિશ હોય કે જેથી \(\overrightarrow{ r } \times \overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ a }\) અને \(\overrightarrow{ r } \cdot \overrightarrow{ b }=0,\) થાય તો \(\overrightarrow{ r } \cdot \overrightarrow{ a } = ..........\)

જો વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}+e^{x}\left(x^{2}-2\right) y=\left(x^{2}-2 x\right)\left(x^{2}-2\right) e^{2 x}\) નો ઉકેલ \(y(0)=0\) નું સમાધાન કરે,તો \(y(2)\) નું મૂલ્ય\(\dots\dots\dots\)છે.

સમક્ષિતિજ જમીન પર અનુક્રમે \(5\,m\) અને \(10\, m\) ઊંચાઈ ધરાવતા બે થાંભલા છે. આ બંને થાંભલાની ટોચ ને જોડતા તે જમીન સાથે \(15^o\)  નો ખૂણો આંતરે છે તો બે થાંભલા વચ્ચેનું અંતર (મીટર માં) મેળવો.