અંકો \(1,3,5,7,9\) ના પુનરાવર્તન સિવાય ના ઉપયોગ થી ચોક્કસ રીતે \(5000\) અને \(10000\) ની વચ્યે હોય તેવી સંખ્યાઓ ની સંખ્યા \(......\) છે.

ધારો કે \(\vec{a} = \sqrt{7}\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\) અને \(\vec{b} = \hat{j} + 2\hat{k}\). જો \(\vec{r}\) એવો સદિશ છે કે જેથી \(\vec{r} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\) અને \(\vec{r} \cdot \vec{a} = 0\), તો \(|3\vec{r}|^2\) બરાબર છે:

એક પક્ષી \(20\ m\) ઊંચા એક શિરોલંબ થાંભલા પર બેઠું છે તથા જમીન પરના કોઇ બિંદુ \(O\) થી તેનો ઉત્સેધકોણ \(45^o \) છે. આ પક્ષી \(O\) થી દૂર ,સમક્ષીતીજ દિશામાં ઉડાન ભરે છે. એક સેંકડ બાદ \(O\) થી પક્ષીનો ઉત્સેધકોણ ઘટીને \(30^o \) થઇ જાય છે.તો પક્ષીની ગતિ(મીટર/સેકંડ)માં ___________છે.

અહી \(\frac{\sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\sin (\mathrm{A}-\mathrm{C})}{\sin (\mathrm{C}-\mathrm{B})}\), કે જ્યાં  \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) એ ત્રિકોણ  \(\mathrm{ABC}\) ના ખૂણાઓ છે . જો ખૂણાની સામે ની બાજુઓ અનુક્રમે \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) હોય તો . . . 

ધારો કે જેનું શિરોબિંદુ \((3,2)\) અને નાભિ \((4,4)\) હોય. તેવો એક પરવલય \(P_{1} \) છે અને રેખા \(x+2 y=6\) ને સાપેક્ષ તેનું આરસી પ્રતિબિંબંબ \(P _{2}\) છે. તો \(P _{2}\) ની નિયામિકા \(x+2 y=\)  .........

એક ઉસ્ચતર માધ્યમિક શાળાના \(220\) વિદ્યાર્થીઓના સર્વેક્ષણમાં, એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે ઓછામાં ઓછા \(125\) તથા વધુમા વધુ \(130\) વિદ્યાર્થી ગણિત શાસ્ત્ર ભણે છે; ઓછામાં ઓછા \(85\) અને વધુમા વધુ \(95\) ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણે છે; ઓછામાં ઓછા \(75\) અને વધુમા વધુ \(90\) ૨સાયણશાસ્ત્ર ભણે છે; \(30\) બન્ને ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ભણે છે; \(50\) બન્ને રસાયણશાસ્ત્ર અને ગણિતશાસ્ર ભણે છે; \(40\) બન્ને ગણિતશાસ્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણે છે તથા \(10\) આ પૈકીના કોઈ પણ વિષયો ભણતા નથી. ધારોકે \(\mathrm{m}\) અને \(\mathrm{n}\) અનુક્રમે આ ત્રણે વિષયો ભણતા વિદ્યાર્થીઓની ઓછામાં ઓછી તથા વધુમાં વધુ સંખ્યા છે. તો \(\mathrm{m}+\mathrm{n}=\) ...........

વિધેય \( f(x)=\log_{3}\log_{5}\log_{7}(9x-x^{2}-13) \) નો પ્રદેશ અંતરાલ (m, n) છે. અતિવલય \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) ની ઉત્કેન્દ્રતા \( \frac{n}{3} \) અને નાભિલંબની લંબાઈ \( \frac{8m}{3} \) છે. તો \( b^{2}-a^{2} \) = ___ છે.

ધારો કે \(y=f(x)\) એ \((-5,5)\) માં ત્રિ-વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે \((1, f(1))\) અને \((3, f(3))\) આગળના સ્પર્શકો, ધન \(x\)-અક્ષ સાથે અનુક્રમે \(\pi / 6\) અને \(\pi / 4\) ના ખૂણા બનાવે છે. જો \(27 \int_1^3\left(\left(f^{\prime}(t)\right)^2+1\right) f^{\prime \prime}(t) d t=\alpha+\beta \sqrt{3}\) જ્યાં \(\alpha, \beta\) પૂર્ણાંકો હોય, તો \(\alpha+\beta\) નું મૂલ્ય ........... છે.

ધારોકે \(0 \leq r \leq n\). જો \({ }^{n+1} C_{r+1}:{ }^n C_r:{ }^{n-1} C_{r-1}=55: 35: 21\) હોય, તો \(2 n+5 r=\) .........

ધારોકે \(f ( x )\) એ \([0, 2]\) પર વ્યાખ્યાયિત એવું વિક્લનીય વિધેય છે કે જેથી પ્રત્યેક \(x \in(0,2)\) મા\(f^{\prime}(x)=f^{\prime}(2-x),f (0)=1\) અને \(f (2)= e ^{2}\) થાય. તો \(\int_{0}^{2} f ( x ) dx\) નું મૂલ્ય ....... છે.

ધારોકે S એ પ્રથમ 11 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
તો ગણ \(A=\{B \subseteq S: n(B) \geqslant 2\), અને B ના તમામ ઘટકોનો ગુણાકાર બેકી છે } ના ઘટકોની સંખ્યા ___ છે.

ધારો કે \(\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x})\) એ  વિકલ સમીકરણ\(\sqrt{1-\mathrm{x}^{2}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\sqrt{1-\mathrm{y}^{2}}=0,|\mathrm{x}|<1\) નો ઉકેલ આપેલ છે . જો  \(\mathrm{y}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\) હોય તો  \(\mathrm{y}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)\) મેળવો.

અહી \(L\) એ સમતલો \(\vec{r} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})=2\) અને \(\vec{r} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})=2\) ની છેદરેખા છે. જો બિંદુ \((1,2,0)\) માંથી રેખા \(L\) પરનો લંબપાદ \(\mathrm{P}(\alpha, \beta, \gamma)\) હોય તો  \(35(\alpha+\beta+\gamma)\) ની કિમંત મેળવો.