અહી \(Q\) એ બિંદુ \(P (1,2,3)\) નો સમતલ \(x +2 y + z =14\) પરનો લંબપાદ છે. જો \(R\) એ સમતલ પર છે કે જેથી \(\angle PRQ =60^{\circ}\) હોય તો  \(\triangle PQR\) નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

અહી ત્રિકોણ \(\mathrm{ABC}\) માં \(\mathrm{A}(-3,1)\) અને \(\angle \mathrm{ACB}=\theta, 0<\theta<\frac{\pi}{2} \) આપેલ છે . જો શીરોબિંદુ \(\mathrm{B}\) માંથી મધ્યગાનું સમીકરણ \(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-3=0\) છે અને શિરોબિંદુ \(\mathrm{C}\) ના કોણદ્રીભાજક \(7 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}-1=0\) નું સમીકરણ છે તો \(\tan\, \theta\) ની કિમંત મેળવો. 

ધારોકે ઉપવલય \(E : \frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}=1\) તથા અતિવલય \(H : \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{\lambda^2}=-1\) ને સમાન નાભિઓ છે. જો e અને L એ અનુક્રમે H ની ઉત્કેન્દ્રતા તથા નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવે, તો \(24( e + L )\) નું મૂલ્ય ___ છે.

જો \(\left(\dfrac{1}{x^3} - x^4\right)^n\) ના વિસ્તરણમાં, જ્યાં \(x \neq 0\), \(x^7\) અને \(x^{14}\) ના સહગુણાંકોનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો \(n\) નું મૂલ્ય __________ છે.

વિધાન \(-1\) : સમીકરણો  \(x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0\) ;\(x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0\) ;\(x - \left( {\sin \,\alpha } \right)y - \left( {\cos \alpha } \right)z = 0\) ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ \(\alpha \) ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) તેના માટે ધરાવે છે . વિધાન \(-2\) : સમીકરણ કે જે \(\alpha \) સ્વરૂપ માં છે \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \cos {\mkern 1mu} \alpha } 
\end{array}} \right| = 0\) નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) માં છે .

ધારો કે ગણ \(A = A _{1} \cup A _{2} \cup \ldots \cup A _{k}\) છે. જ્યાં \(i \neq j, 1 \leq i, j \leq k\) માટે \(A _{i} \cap A _{i}=\phi\) છે. \(A\) થી \(A\) પરનો સંબંધ \(R\) એ \(R =\left\{(x, y): y \in A _{i}\right.\) તો અને તો જ \(\left.x \in A _{i}, 1 \leq i \leq k\right\}\) પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરો.તો \(R\) એ :

ટીમ  \('A'\) માં \(7\) છોકરા અને  \(n\) છોકરી છે અને ટીમ \('B'\) માં \(4\) છોકરા અને \(6\) છોકરી છે. જો કુલ \(52\) મેચ થાય છે જો બંને ટીમોના છોકરા- છોકરા અને છોકરી-છોકરીને એક મેચ રમાડવામાં આવે તો  \(n\) ની કિમંત મેળવો.

ધારોકે \(a,b,c\) એ એવી ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી \((2 a)^{\log _e a}=(b c)^{\log _e b}\) અને \(b^{\log _e 2}=a^{\log _e c}\) તો \(6 a+5 b c=..........\)

જો \(\alpha\) અને \(\beta(\alpha<\beta)\) એ સમીકરણ \((-2+\sqrt{3})(|\sqrt{x}-3|)+(x-6 \sqrt{x})+(9-2 \sqrt{3})=0, x \geqslant 0\) ના બીજ હોય, તો\(\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}+\sqrt{\alpha \beta}=\) ___ .

ધારો કે રેખા L એ \((1,1,1)\) માંથી પસાર થાય છે અને રેખાઓ \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}\) અને \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{1}\) ને છેદે છે. તો, નીચેનામાંથી કયું બિંદુ રેખા L પર આવેલું છે?

બિંદુ \(P (-3,2), Q (9,10)\) અને\( R (a, 4)\) એ \(PR\) વ્યાસ વાળા વર્તુળ \(C\) પર આવેલ છે. બિંદુુ \(Q\) અને \(R\) પર ના \(C\) ના સ્પર્શકો બિંદુ \(S\) માં કાપે છે. જો \(S\) એ રેખા \(2 x-k y=1\) પર આવેલ હોય, તો \(k=.........\)

સદીશો \(\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ b }, \overrightarrow{ c }\) એવા મળે કે જેથી \(|\overrightarrow{ a }|=2,|\overrightarrow{ b }|=4\) અને \(|\overrightarrow{ c }|=4\) થાય જો સદીશ \(\overrightarrow{ b }\) નો સદીશ \(\overrightarrow{ a }\) પરનો પ્રક્ષેપ એ સદીશ \(\overrightarrow{ c }\) નો સદીશ \(\overrightarrow{ a }\) પરનો પ્રક્ષેપ જેટલો અને સદીશ \(\overrightarrow{ b }\) નો સદીશ \(\overrightarrow{ c }\) પરનો પ્રક્ષેપને લંબ હોય તો \(|\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ c }|\) ની કિમત .......... થાય 

ધારો કે \(f(x)=\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}}\left(\frac{\tan \left(x / 2^{r+1}\right)+\tan ^3\left(x / 2^{r+1}\right)}{1-\tan ^2\left(x / 2^{r+1}\right)}\right)\). તો \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{f(x)}}{(x-f(x))}\) = __________