\((1+x)^{500}+x(1+x)^{499}+x^2(1+x)^{498}+\ldots . .+x^{500}\) માં \(x ^{301}\)નો સહગુણક \(........\) છે.

જો સુરેખ સમીકરણ સંહતિ \(2 x-3 y=\gamma+5,\) ; \(\alpha x+5 y=\beta+1\) જ્યાં \(\alpha, \beta, \gamma \in R\) ને અનંત ઉકેલ હોય, તો \(|9 \alpha+3 \beta+5 \gamma|\) ની કિમત..........છે.

એક સોફ્ટવેર કંપની એક કાર્ય \(17\) દિવસમાં પૂરું કરવા માટે \(m\) કમ્પ્યુટર સિસ્ટમ ગોઠવે છે. જો બીજા દિવસની શરૂઆતમાં \(4\) કમ્પ્યુટર સિસ્ટમ ક્રેશ થઈ જાય, ત્રીજા દિવસની શરૂઆતમાં બીજા \(4\) કમ્પ્યુટર સિસ્ટમ ક્રેશ થઈ જાય અને તેથી વધુ, તો કાર્ય પૂરું કરવામાં બીજા \(8\) દિવસ લાગ્યા. \(m\) નું મૂલ્ય ........... છે.

જો \(f:R \to R\) એ વિકલનીય વિધેય હોય અને \(f\left( 2 \right) = 6\) થાય તો  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \int\limits_6^{f\left( x \right)} {\frac{{2\,tdt}}{{\left( {x - 2} \right)}}} \) = 

વિધેય \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{4}+\tan ^{-1} x,|x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1),|x|>1\end{array}\right.\)

એક ઉસ્ચતર માધ્યમિક શાળાના \(220\) વિદ્યાર્થીઓના સર્વેક્ષણમાં, એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે ઓછામાં ઓછા \(125\) તથા વધુમા વધુ \(130\) વિદ્યાર્થી ગણિત શાસ્ત્ર ભણે છે; ઓછામાં ઓછા \(85\) અને વધુમા વધુ \(95\) ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણે છે; ઓછામાં ઓછા \(75\) અને વધુમા વધુ \(90\) ૨સાયણશાસ્ત્ર ભણે છે; \(30\) બન્ને ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ભણે છે; \(50\) બન્ને રસાયણશાસ્ત્ર અને ગણિતશાસ્ર ભણે છે; \(40\) બન્ને ગણિતશાસ્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્ર ભણે છે તથા \(10\) આ પૈકીના કોઈ પણ વિષયો ભણતા નથી. ધારોકે \(\mathrm{m}\) અને \(\mathrm{n}\) અનુક્રમે આ ત્રણે વિષયો ભણતા વિદ્યાર્થીઓની ઓછામાં ઓછી તથા વધુમાં વધુ સંખ્યા છે. તો \(\mathrm{m}+\mathrm{n}=\) ...........

પરવલય \(y^2=4 x+16\) નું કેન્દ્રબિંદુ ત્રિજ્યા 5 વાળા વર્તુળ \(C\) નું કેન્દ્ર છે. જો \(\lambda\) ની કિંમતો, જેના માટે \(C\) રેખાઓ \(3 x-y=0\) અને \(x+\lambda y=4\) ના છેદનબિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તે \(\lambda_1\) અને \(\lambda_2, \lambda_1 \lt \lambda_2\) હોય, તો \(12 \lambda_1+29 \lambda_2\) = __________

જો \(16x^2 - 9y^2 = 144\) અને \(8x - 3y = 24\) દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ A હોય, તો \(3(A + 6 \log_e(3))\) બરાબર _______ છે.

સમતલો \(x = ay + b\) અને  \(z = cy + d\) ની છેદરેખાનું સંમિત સ્વરૂપ મેળવો.

ધારો કે M અને m અનુક્રમે \(f(x)=\left|\begin{array}{ccc}
1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & 4 \sin 4 x \\
\sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & 4 \sin 4 x \\
\sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 4 x
\end{array}\right|, x \in \mathrm{R}\) ના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો છે. તો \(M^4-m^4\) = ___

ધારો કે ત્રિકોણ \(ABC\) ની બાજુઓની લંબાઈઓ \(a\), \(b\) અને \(c\) છે કે જેથી \(\frac{ a + b }{7}=\frac{ b + c }{8}=\frac{ c + a }{9}\) જો આ ત્રિકોણ \(ABC\) ના અંતર્વૃત્ત અને પરિવૃત્ત ની ત્રિજયાઓ અનુક્રમે  \(r\) અને \(R\) હોય, તો \(\frac{R}{r}\) ની કિમત ........  છે.

જો \(P (3,3)\) એ અતિવલય \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) પરનું એક બિંદુ છે અને બિંદુ \(P\) આગળનો અભિલંબ \(x\)-અક્ષને બિંદુ \((9,0)\) આગળ છેદે અને \(e\) તેની ઉત્કેન્દ્ર્તા હોય તો \(\left( a ^{2}, e ^{2}\right)\) ની કિમત શોધો 

અહી ' \(a\) ' એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી વિધેય \(f(x)=a x^{2}+6 x-15, x \in R\) એ અંતરાલ \(\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)\) માં વધતું વિધેય છે અને \(\left(\frac{3}{4}, \infty\right) \) પર ઘટતું વિધેય છે તો વિધેય  \(g(x)=a x^{2}-6 x+15, x \in R\) એ . . .  ..