समान रेखीय आवेश घनत्व \(\lambda\) वाली त्रिज्या \(R_1\) तथा \(R _2\) की दो सम केन्द्रीय अर्द्ध वलयो के केन्द्र पर विद्युत विभव होगा :-

गुरूत्व के अधीन गिरती हुई एक वस्तु \(80\) मी. की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं को \(2\) से. में पार करती है। प्रारम्भिक बिन्दु से ऊपरी बिन्दु \(\mathrm{A}\) की दूरी . . . . . . .मी. है। (दिया है, \(\mathrm{g}=10 \mathrm{~ms}^{-2}\) )

तीन सदिशों \(\vec{A}=(-x \hat{i}-6 \hat{j}-2 \hat{k})\), \(\vec{B}=(-\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k})\) और \(\vec{C}=(-8 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})\) के लिए, यदि \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{B}} \times \overrightarrow{\mathrm{C}})=0\) है, तो \(\mathrm{x}\) का मान _______ है।

एक 10 cm भुजा वाले घन का द्रव्यमान अज्ञात है और 200 gm द्रव्यमान को एक 27 cm लंबी एकसमान दृढ़ छड़ के दो सिरों पर लटकाया गया। द्रव्यमानों सहित छड़ को एक कील पर इस प्रकार रखा गया कि कील बिंदु और 200 gm भार के बीच की दूरी 25 cm थी। प्रारंभ में द्रव्यमान संतुलन में नहीं थे। अज्ञात द्रव्यमान के नीचे एक बीकर रखा गया और उसमें धीरे-धीरे पानी डाला गया। एक निश्चित बिंदु पर द्रव्यमान संतुलन में आ गए और अज्ञात द्रव्यमान का आधा आयतन पानी के अंदर था।
(मान लीजिए कि अज्ञात द्रव्यमान का घनत्व पानी के घनत्व से अधिक है, द्रव्यमान ने पानी अवशोषित नहीं किया और पानी का घनत्व \(1 \mathrm{gm} / \mathrm{cm}^3\) है।) अज्ञात द्रव्यमान ________ kg है।

दो रेडियोधर्मीं तत्व \(A\) तथा \(B\) की अर्द्धआयु क्रमशः \(20 \, min\) तथा \(40\, min\) हैं। प्रारंभ में दोनों के नमूनों में नाभिकों की संख्या बराबर है। \(80 \,min\) के उपरांत \(A\) तथा \(B\) के क्षय हुए नाभिकों की संख्या का अनुपात होंगा:

\(80 \mathrm{~cm}\) लंबाई के तीन पंखों के छत वाला पंखा \(1200 \mathrm{rpm}\) कोणीय वेग से घूम रहा है। उस परिवेश में पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र \(0.5 \mathrm{G}\) तथा नमन कोण \(30^{\circ}\) है। पंखों के सिरों के बीच उत्पन्न emf \(\mathrm{N} \pi \times 10^{-5} \mathrm{~V}\) है। \(\mathrm{N}\) का मान _______ है।

ठन्डे मौसम के कारण \(1 \,cm ^{2}\) अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाली \(1\, m\) पानी की नली \(-10^{\circ} C\) पर बर्फ से भरी है। प्रतिरोधात्मक ऊष्मा बर्फ को पिघलाने में प्रयुक्त होती है, \(4 \,k \,\Omega\) प्रतिरोध में \(0.5 \,A\) की धारा प्रवाहित की जाती है यह मानते हुए कि पूर्ण उत्पन्न ऊष्मा बर्फ को पिघलाने में प्रयुक्त होती है बर्फ पिघलाने में लगा न्यूनतम समय है। (\({s}\) में) (दिया है : पानी के संलयन की गुप्त उष्मा \(=3.33 \times 10^{5} \,J\, kg ^{-1}\) बर्फ की विशिष्ट उष्मा \(=2 \times 10^{3}\, J \,kg ^{-1}\) तथा बर्फ का घनत्व \(=10^{3} \,kg / m ^{3}\) )

1000 kg द्रव्यमान के एक उपग्रह को पृथ्वी की सतह से 270 km की ऊँचाई पर एक कक्षा में पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगाने के लिए प्रक्षेपित किया जाता है। इस कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा ______ \( \times 10^{10}\text{ J} \) होगी।
(पृथ्वी का द्रव्यमान \( = 6 \times 10^{24}\text{ kg} \), पृथ्वी की त्रिज्या \( = 6.4 \times 10^6\text{ m} \), गुरुत्वाकर्षण नियतांक \( = 6.67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2} \))

द्रव्यमान \(M\) तथा त्रिज्या \(R\) की एक डिस्क \(D _{1}\) से समान द्रव्यमान \(M\) तथा त्रिज्या \(R\) की दो डिस्क \(D _{2}\) और \(D _{3}\) को आमने-सामने दृढ़तापूर्वक जोड़ा गया है (चित्र देखिये) । इस संयोजन का, दिखाये गये चित्रानुसार \(D _{1}\) के केन्द्र से गुजरने वाली अक्ष \(OO ^{\prime}\) के सापेक्ष, जड़त्व आघूर्ण होगा।

\(R\) प्रतिरोध के एक तार को मोड़कर चित्रानुसार एक वर्ग बनाया जाता है। यदि \(E\) भुजा \(DA\) का मध्य बिन्दु है, तो \(E\) व \(A\) के मध्य समतुल्य प्रतिरोध है:

बल \(5 \hat{ i }+3 \hat{ j }-7 \hat{ k }\) का मूलबिन्दू के सापेक्ष बल आघूर्ण \(\tau\) है। यदि बल किसी कण पर लगता है जिसका स्थिति सदिश \(2 \hat{ i }+2 \hat{ j }+\hat{ k }\) है, तो \(\tau\) का मान होगा :

एक आदर्श गैस का दाब और आयतन इस प्रकार संबंधित हैं कि \(\mathrm{PV}^{3 / 2}=\mathrm{K}\) (स्थिरांक)। जब गैस को अवस्था \(A\left(P_1, V_1, T_1\right)\) से अवस्था \(\mathrm{B}\left(\mathrm{P}_2, \mathrm{~V}_2, \mathrm{~T}_2\right)\) में ले जाया जाता है, तो किया गया कार्य _______ है।