यदि \(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{n}-n}{x-1}=820,(n \in N )\) तो \(x\) का ........ मान है।

माना \(P\) एक समतल \(l x + my + nz =0\) है, जिसमें रेखा \(\frac{1- x }{1}=\frac{ y +4}{2}=\frac{ z +2}{3}\) र्थित है। यदि समतल \(P\), बिंदुओं \(A (-3,-6,1)\) तथा \(B (2,4,-3)\) को मिलाने वाले रेखा खंड \(AB\) को \(k : 1\) के अनुपात बाँटता है, तो \(k\) का मान बराबर है

माना \(f ( x )\), घात \(4\) का एक बहुपद है जिसके क्रान्तिक बिन्दु \(-1,0,1\) हैं। यदि \(T =\{ x \in R \mid f ( x )= f (0)\}\), तो \(T\) के सभी अवयवों के वर्गो का योगफल है

माना \(A =\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\) है। यदि \(M\) तथा \(N\) दो आव्यूह \(M =\sum_{ k =1}^{10} A ^{2 k }\) तथा \(N =\sum_{ k =1}^{10} A ^{2 k -1}\) से दिये जाते है तो \(MN ^2\) है

माना \(a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{10}\) गुणोत्तर श्रेणी में है जिसमें \(i =1,2, \ldots, 10\) के लिये \(a _{ i }>0\) है तथा युग्मों \(( r , k ), r , k \in N\) (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) का समुच्चय \(S\) है जिसके लिये \(\left|\begin{array}{lll}\log _{ e } a_{1}^{ r } a _{2}^{ k } & \log _{ e } a _{2}^{ r } a _{3}^{ k } & \log _{ e } a _{3}^{ r } a _{4}^{ k } \\ \log _{ e } a _{4}^{ r } a _{5}^{ k } & \log _{ e } a _{5}^{ r } a _{6}^{ k } & \log _{ e } a _{6}^{ r } a _{7}^{ k } \\ \log _{ e } a _{7}^{ r } a _{8}^{ k } & \log _{ e } a _{8}^{ r } a _{9}^{ k } & \log _{ e } a _{9}^{ r } a _{10}^{ k }\end{array}\right|=0\) है। तब \(S\) में अवयवों की संख्या होगी 

मान लीजिए \(\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+k, \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 k\) और एक सदिश \(\vec{c}\) इस प्रकार है कि \((\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}) \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=-18 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+12 \mathrm{k}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=3\)। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{d}}\), तो \(|\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}|\) = ___

माना \(\mathrm{ABC}\) एक समबाहु त्रिभुज है। त्रिभुज \(\mathrm{ABC}\) की सभी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने से एक नया त्रिभुज बनता है और यही प्रक्रिया अनंत बार दोहराई जाती है। यदि इस प्रक्रिया में बने सभी त्रिभुजों के परिमापों का योग \(\mathrm{P}\) है और क्षेत्रफलों का योग \(Q\) है, तो:

यदि फलन
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{10+3 x-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x+|x|}}\) का प्रांत \((a, b)\) है, तो \((1+a)^2+b^2\) = __________

समीकरण \(\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^2+3|\mathrm{x}|+5|\mathrm{x}-1|+6|\mathrm{x}-2|\right)=0\) के वास्तविक हलों की संख्या ........... है।

\(x \in R -\{0,1\}\) के लिए, तीन फलन \(f_{1}(x)=\frac{1}{x}\) , \(f_{2}(x)=1-x\) तथा \(f_{3}(x)=\frac{1}{1-x}\) दिए गए हैं। यदि एक फलन  \(J ( x )\) है, जो \(\left( {{f_2}oJo{f_1}} \right)\left( x \right)= f _{3}(x)\) को संतुष्ट करता है ,तो \(J (x)\) बराबर है:

यदि एक समांतर षट्फलक, जिसके एक ही शीर्ष से जाने वाले किनारे (edges) सदिशों \(\overrightarrow{ a }=\hat{ i }+\hat{ j }+ n \hat{ k }\), \(\overrightarrow{ b }=2 \hat{ i }+4 \hat{ j }- n \hat{ k }\) तथा \(\overrightarrow{ c }=\hat{ i }+ n \hat{ j }+3 \hat{ k } \quad( n \geq 0)\) द्वारा दिए गए हैं, का आयतन 158 घन इकाइयाँ है, तो

बिंदुओं \((0,-1,0)\) तथा \((0,0,1)\) से हो कर जाने वाला एक समतल, जो समतल \(y - z +5=0\) के साथ \(\frac{\pi}{4}\) का कोण बनाता है, निम्न में से किस बिंदु से होकर जाता है?

यदि अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}+2 y=\sin (2 x), y(0)=\frac{3}{4}\) का हल \(y=y(x)\) है, तो \(\mathrm{y}\left(\frac{\pi}{8}\right)\) = ...........