यदि फलन \( f(x)=\cos^{-1}(\frac{2x-5}{11-3x})+\sin^{-1}(2x^{2}-3x+1) \) का प्रांत अंतराल \( [\alpha,\beta] \) है, तब \( \alpha+2\beta \) = ........... है।

माना एक निष्कोण वक्र \(y = f ( x )\) के किसी भी बिंदु \(( x , y )\) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \(\left(\frac{- y }{ x }\right)\) के अनुक्रमानुपात में है। यदि यह वक्र बिंदुओं \((1,2)\) तथा \((8,1)\) से होकर जाता है, तो \(\left| y \left(\frac{1}{8}\right)\right|\) बराबर है

समतल \(2 x-y+z+3=0\) में रेखा \(\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5}\) के प्रतिबिंब वाली रेखा है:

यदि \(\frac{ x -1}{2}=\frac{ y -2}{3}=\frac{ z -3}{\lambda}\) तथा \(\frac{ x -2}{1}=\frac{ y -4}{4}=\frac{ z -5}{5}\) के मध्य न्यूनतम दूरी \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) है, तो \(\lambda\) के सभी संभव मानों का योगफल होगा

माना \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\)। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) एक सदिश इस प्रकार है कि \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{4}\) है, तो \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___

माना कि \(y = y(x)\) अवकल समीकरण \((\tan x)^{1/2}\,dy = (\sec^3 x - (\tan x)^{3/2} y)\,dx\), \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\), \(y\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{6\sqrt{2}}{5}\) का हल है। यदि \(y\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{4}{5}\alpha\) है, तो \(\alpha^4\) बराबर है _______।

\(k\) के धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या, ताकि \(\left(2 x ^3+\frac{3}{ x ^{ k }}\right)^{12}, x \neq 0\) द्विपद प्रसार में अचर पद \(2^8 . \ell\) हो जहाँ \(\ell\) एक विषम पूर्णांक है, होगी -

एक व्यक्ति के पास तीन अलग-अलग थैले और चार अलग-अलग किताबें हैं। तरीकों की संख्या, जिनमें वह इन किताबों को थैलों में रख सकता है ताकि कोई भी थैला खाली न रहे, है:

\(2,000\) तथा \(5,000\) के बीच उन संख्याओं की संख्या जो अंकों \(0,1,2,3,4\) से बनाई जा सकती हैं (अंकों का दोबारा लिया जाना वर्जित है) तथा जो \(3\) के गुणज हैं

समाकलन \(\frac{24}{\pi} \int \limits_0^{\sqrt{2}} \frac{\left(2- x ^2\right) dx }{\left(2+ x ^2\right) \sqrt{4+ x ^4}}\) का मान होगा

वक्र \(\mathrm{y}=\mathrm{x}^3\) तथा इसके बिंदु \((-1,-1)\) पर स्पर्श रेखा से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

माना कि वृत्त \(C_1 : |z| = r\) और \(C_2 : |z - 3 - 4i| = 5\), \(z \in \mathbb{C}\), इस प्रकार हैं कि \(C_2\) वृत्त \(C_1\) के भीतर स्थित है। यदि \(z_1\) वृत्त \(C_1\) पर गति करता है, \(z_2\) वृत्त \(C_2\) पर गति करता है तथा \(\min |z_1 - z_2| = 2\) है, तो \(\max |z_1 - z_2|\) किसके बराबर है?

माना कि \( A(1,0) \), \( B(2,-1) \) और \( C(\frac{7}{3},\frac{4}{3}) \) तीन बिंदु हैं। यदि कोण ABC के समद्विभाजक का समीकरण \( \alpha x+\beta y=5 \) है, तो \( \alpha^2+\beta^2 \) का मान ___ है।