माना कि वृत्त \(C_1 : |z| = r\) और \(C_2 : |z - 3 - 4i| = 5\), \(z \in \mathbb{C}\), इस प्रकार हैं कि \(C_2\) वृत्त \(C_1\) के भीतर स्थित है। यदि \(z_1\) वृत्त \(C_1\) पर गति करता है, \(z_2\) वृत्त \(C_2\) पर गति करता है तथा \(\min |z_1 - z_2| = 2\) है, तो \(\max |z_1 - z_2|\) किसके बराबर है?

\(x\) के उन वास्तविक मानों जिनके लिये \(\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{x}\right)^{8}\) के द्विपद प्रसार का मध्य पद \(5670\) है, का योग है 

माना \(A =\left[\begin{array}{lll} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{array}\right]\) है, जहाँ \(x , y\) तथा \(z\) वास्तविक संख्याऐं है, जिनके लिए \(x+y+z>0\) तथा \(x y z=2\) है। यदि \(A ^{2}= I _{3}\) है, तो \(x ^{3}+ y ^{3}+ z ^{3}\) का मान है ..... |

फलन \(f(x)=\frac{4 x^{3}-3 x^{2}}{6}-2 \sin x+(2 x-1) \cos x\) :

माना \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\)। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) एक सदिश इस प्रकार है कि \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) और \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{4}\) है, तो \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___

मान लीजिए कि समीकरणों के निकाय :
\(\begin{aligned}
& 2 x+3 y+5 z=9 \\
& 7 x+3 y-2 z=8 \\
& 12 x+3 y-(4+\lambda) z=16-\mu
\end{aligned}\)
के अनंत हल हैं। तब \((\lambda, \mu)\) पर केंद्रित तथा रेखा \(4 x=3 y\) को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या क्या है?

माना \(f(x)=\frac{x}{\left(1+x^n\right)^{\frac{1}{n}}}, x \in R-\{-1\}, n \in N\), \(\mathrm{n}>2\) हैं। यदि \(\mathrm{f}^{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=\) (fofof \(\ldots . . \mathrm{n}\) बार) \((\mathrm{x})\) है, तो \(\operatorname{Lim}_{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \int_0^1 \mathrm{x}^{\mathrm{n}-2}\left(\mathrm{f}^{\mathrm{n}}(\mathrm{x})\right) \mathrm{dx}\) बराबर है_____________

माना एक दीर्घवृत्त \(\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1\) की उत्केन्द्रता, अतिपरवलय \(2 x^2-2 y^2=1\) की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रम (reciprocal) है। यदि दीर्घवृत्त, अतिपरवलय को लंबवत काटता है, तो दीर्घवृत्त की नाभिलंब जीवा की लंबाई का वर्ग है__________

माना सदिश \(\overrightarrow{ a }=(1+ t ) \hat{ i }+(1- t ) \hat{ j }+\hat{ k }\), \(\vec{b}=(1-t) \hat{i}+(1+t) \hat{j}+2 \hat{k}\) तथा \(\vec{c}=t \hat{i}-t \hat{j}+\hat{k}\), \(t \in R\) इस प्रकार है कि \(\alpha, \beta, \gamma \in R\), के लिए \(\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0\) है। तब \(t\) के सभी मानों का समुच्चय:

यदि \(\frac{d y}{d x}=\frac{a x-b y+a}{b x+c y+a}\) (जहां \(a, b, c\) रिथरांक है), एक वृत्त को दर्शाता है जो बिन्दु \((2,5)\) से गुजरता है, तब बिन्दु \((11,6)\) की इस वृत्त से न्यूनतम दूरी होगी।

माना \(\alpha\) एक शून्येत्तर वास्तविक संख्या है। माना एक अवकलनीय फलन \(f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}\) के लिए \(f(0)=2\) तथा \(\lim _{\mathrm{x} \rightarrow-\infty} \mathrm{f}(\mathrm{x})=1\) है। यदि \(f^{\prime}(\mathrm{x})=\alpha f(x)+3, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R}\) है, तो \(f\left(-\log _{\mathrm{e}} 2\right)\) = ...........

क्षेत्र \(\left\{(x, y):|x-1| \leq y \leq \sqrt{5-x^2}\right\}\) का क्षेत्रफल बराबर है:

यदि \(\left({ }^{30} \mathrm{C}_1\right)^2+2\left({ }^{30} \mathrm{C}_2\right)^2+3\left({ }^{30} \mathrm{C}_3\right)^2+\ldots \ldots .\). \(30\left({ }^{30} \mathrm{C}_{30}\right)^2=\frac{\alpha 60 !}{(30 !)^2}\), है, तो \(\alpha \cdot\) बराबर है :