यदि द्विघातीय समीकण \(\left(m^{2}+1\right) x^{2}-3 x+\left(m^{2}+1\right)^{2}\) \(=0\) में \(m\) इस प्रकार लिया गया है, कि इसके मूलों का योगफल अधिकतम है तो इसके मूलों के घन का निरपेक्ष अन्तर हैं

माना \(a , b \in R\) इस प्रकार है कि समीकरण \(ax ^2-2 bx +15=0\) का एक पुनरावृत्ति मूल \(\alpha\) है। यदि \(\alpha\) तथा \(\beta\) समीकरण \(x^2-2 b x+21=0\) के मूल है तब \(\alpha^2+\beta^2\) बराबर होगा -

दो सदिशों \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) पर विचार कीजिए। उनके बीच का कोण \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) द्वारा दिया गया है। माना \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), जहाँ \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के समांतर है और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के लंबवत है। तो \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) का मान क्या है?

माना एक रेखा, रेखा \(2 x-y=10\) के लंबवत, परवलय \(y^2=4(x-9)\) को बिंदु \(P\) पर स्पर्श करती है। बिंदु \(\mathrm{P}\) की वृत्त \(x^2+y^2-14 x-8 y+56=0\) के केंद्र से दूरी ........... है।

थैले \(A\) में \(2\) सफेद,\(1\) काली तथा \(3\) लाल गेंदे है तथा थैले \(B\) में \(3\) काली, \(2\) लाल तथा \(n\) सफेद गेंदे है। एक थैला यादृच्छया चुना जाता है तथा उसमें से यादृच्छिक रूप से \(2\) गेंदे निकाली जाती है जो \(1\) लाल तथा \(1\) काली पायी जाती है। यदि थैले \(A\) से दोनों के आने की प्रायिकता \(\frac{6}{11}\) है \(n\) बराबर है \(...............\)

यदि दीर्घवृत्त \(x^2+4 y^2=36\) के अंतर्गत, केन्द्र \((2,0)\) के सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या \(\mathrm{r}\) है, तो \(12 \mathrm{r}^2\) बराबर है -

यदि \(\mathrm{A}\) तथा \(\mathrm{B}, \mathrm{n} \times \mathrm{n}\) के दो शून्येत्रर आव्यूह इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{A}^2+\mathrm{B}=\mathrm{A}^2 \mathrm{~B}\) है, तो

नीचे दो कथन दिए गए हैं :
कथन I : \(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan ^{-1} x+\log _e \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-2 x}{x^5}\right)=\frac{2}{5}\)
कथन II : \(\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 1}\left(\mathrm{x}^{\frac{2}{1-\mathrm{x}}}\right)=\frac{1}{\mathrm{e}^2}\)
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें :

शब्द \(MATHEMATICS\) के अक्षरों में से पाँच अक्षरों को चुनने के तरीकों की संख्या, जहाँ चुने गए अक्षर आवश्यक रूप से भिन्न नहीं हैं, वह ........... है।

अंतराल \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\) पर एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि \(x \mathrm{R} y\) यदि और केवल यदि \(\sec ^2 x-\tan ^2 y=1\). तब R:

समुच्चय \(\{1,2,3\}\) पर संबंधों, जिनमें \((1,2)\) तथा \((2,3)\) है, तथा जो स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है, की संख्या है____________।

माना \(k \in R\) के लिए समीकरण \(\cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right)=k, 0<|x|<\frac{1}{\sqrt{2}}\) के हल \(\alpha\) तथा \(\beta\) हैं, जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणामितीय फलन के केवल मुख्य मान लेने हैं। यदि समीकरण \(x ^2- bx -5=0\) के हल \(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}\) तथा \(\frac{\alpha}{\beta}\) हैं, तो \(\frac{b}{k^2}\) बराबर है \(...............\)

बिंदु \((7,-2,11)\) की रेखा \(\frac{x-6}{1}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-8}{3}\) से रेखा \(\frac{x-5}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-5}{6}\) के अनुदिश दूरी ........... है।