यदि बिंदु \((1,4)\) वृत्त \(x^{2}+y^{2}-6 x-10 y+p=0\) के अन्त: भाग में स्थित है तथा वृत्त, निर्देशांक अक्षों को न तो स्पर्श करता है, और न ही काटता है, तो \(p\) के सभी संभव मानों का समुच्चय निम्न अतंराल है

माना \(A =\{1,2,3, \ldots, 10\}\) है तथा \(f( k )=\left\{\begin{array}{cl} k +1 & \text { if } k \text { is odd } \\ k & \text { if } k \text { is even }\end{array}\right.\) परिभाषित है। तो ऐसे फलनों \(g : A \rightarrow A\),जिनके लिए \(gof=f\) है, की सम्भावित संख्या है

किसी समांतर श्रेढ़ी में पदों की संख्या सम है। इसके विषम पदों का योग \(24\) है तथा सम पदों का योग \(30\) है। यदि अंतिम पद, प्रथम पद से \(10 \frac{1}{2}\) अधिक है, तो समांतर श्रेढ़ी में पदों की संख्या है

माना परवलय \(\mathrm{y}^2=20 \mathrm{x}\) की नाभि \(\mathrm{R}\) है तथा रेख़ा \(y=m x+c\) परवलय को दो बिंदुओं \(P\) तथा \(Q\) पर काटती है। माना त्रिभुज \(\mathrm{PQR}\) का केन्द्रक, बिंदु \(\mathrm{G}(10,10)\) है। यदि \(\mathrm{c}-\mathrm{m}=6\) है, तो \((\mathrm{PQ})^2\) बराबर है।

माना वक्र \(y = f ( x )\) के बिन्दु \(( x , y )\) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \(2 \tan x (\cos x - y )\) द्वारा दी गयी है। यदि वक्र बिन्दु \((\pi / 4,0)\) से गुजरता है, तो \(\int \limits_0^{\pi / 2} ydx\) का मान है

सरल रेखाँए \(\overrightarrow{ r }=(\hat{ i }-\hat{ j })+\ell(2 \hat{ i }+\hat{ k })\) तथा \(\overrightarrow{ r }=(2 \hat{ i }-\hat{ j })+ m (\hat{ i }+\hat{ j }-\hat{ k })\)

माना \(A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) कुछ \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) के लिए \(A^2 + \alpha(adj(adj(A))) + \beta(adj(A)(adj(adj(A)))) = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\) को संतुष्ट करता है। तो \((\alpha - \beta)^2\) बराबर है _______

यदि \(f( x )=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{| x |} ; & | x | \geq 1 \\ a x ^{2}+ b ; & | x |<1\end{array}\right.\) अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, तो \(a\) तथा \(b\) के मान क्रमशः हैं

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

यदि तीन भिन्न संख्याएं \(a, b, c\) गुणोत्तर श्रेढ़ी में है तथा समीकरण \(ax ^{2}+2 bx + c =0\) और \(dx ^{2}+2 ex +\) \(f=0\) का एक उभयनिष्ठ मूल है, तो निम्न में से कौन-सा एक कथन सत्य है ?

द्विघात समीकरण \(3 x^2-\mathrm{p} x+\mathrm{q}=0\) के मूल एक समांतर श्रेणी के \(10^{\text {th }}\) और \(11^{\text {th }}\) पद हैं, जिसका सार्व अंतर \(\frac{3}{2}\) है। यदि इस समांतर श्रेणी के प्रथम 11 पदों का योग 88 है, तो \(q-2 p\) = __________

माना \(\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) है। तो संबंध \(\mathrm{R}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathrm{A} \times \mathrm{A}: \mathrm{x}+\mathrm{y}=7\}\)

माना बिंदु \(P (0, h )\) से वृत्त \(x^{2}+y^{2}=16\) पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ \(x\)-अक्ष को बिंदुओं \(A\) तथा \(B\) पर मिलती हैं। यदि \(\triangle APB\) का क्षेत्रफल न्यूनतम है, तो \(h\) बराबर है