समीकरण \(x ^7+5 x ^3+3 x +1=0\) के वास्तविक हलों की संख्या होगी \(.........\)

\(|x-y| \leq 2\) तथा \(|x+y| \leq 2\) द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र जिसके द्वारा प्रतिबद्ध (bounded) है, वह है

परवलय \(\mathrm{y}=\mathrm{x}^2\) पर तीन बिंदु \(\mathrm{O}(0,0), \mathrm{P}\left(\mathrm{a}, \mathrm{a}^2\right)\), \(\mathrm{Q}\left(-\mathrm{b}, \mathrm{b}^2\right), \mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0\) है। माना रेखा \(\mathrm{PQ}\) तथा परवलय से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल \(S_1\) है तथा त्रिभुज \(\mathrm{OPQ}\) का क्षेत्रफल \(\mathrm{S}_2\) है। यदि \(\frac{\mathrm{S}_1}{\mathrm{~S}_2}\) का न्यूनतम मान \(\frac{m}{n}, \operatorname{gcd}(m, n)=1\) है, तो \(m+n\) = ...........

समीकरण \( log_{(x+3)}(6x^{2}+28x+30)=5-2log_{(6x+10)}(x^{2}+6x+9) \) के सभी वास्तविक हलों का योग ___ है।

माना कि एक \(\triangle A B C\) में, भुजा \(A C\) की लंबाई 6 है, शीर्ष \(B\) \((1,2,3)\) है तथा शीर्ष \(A, C\) रेखा \(\frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2}\) पर स्थित हैं। तो \(\triangle \mathrm{ABC}\) का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ___ है।

यदि रेखीय समीकरणों के निकाय \(7 x+11 y+\alpha z=13\) \(5 x+4 y+7 z=\beta\) \(175 x+194 y+57 z=361\) के अनंत हल है, तो \(\alpha+\beta+2\) बराबर है

एक त्रिभुज \(\mathrm{ABC}\) की भुजा \(\mathrm{AB}\) पर, \(\mathrm{A}\) और \(\mathrm{B}\) को छोड़कर, \(5\) बिंदु \(\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3, \mathrm{P}_4, \mathrm{P}_5\) हैं। इसी प्रकार, भुजा \(\mathrm{BC}\) पर \(6\) बिंदु \(\mathrm{P}_6, \mathrm{P}_7, \ldots, \mathrm{P}_{11}\) हैं और त्रिभुज की भुजा \(\mathrm{CA}\) पर \(7\) बिंदु \(\mathrm{P}_{12}, \mathrm{P}_{13}, \ldots, \mathrm{P}_{18}\) हैं। बिंदुओं \(\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \ldots, \mathrm{P}_{18}\) को शीर्षों के रूप में प्रयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या ........... है।

माना \(\quad \overrightarrow{\mathrm{a}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\alpha \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{c}}=\beta \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}\), जहाँ \(\alpha\) और \(\beta\) पूर्णांक हैं और \(\alpha \beta=-6\)। क्रमित युग्म \((\alpha, \beta)\) के मान जिनके लिए विकर्णों \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{b}+\vec{c}\) वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) है, \(\left(\alpha_1, \beta_1\right)\) और \(\left(\alpha_2, \beta_2\right)\) हैं। तो \(\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2\) = ...........

यदि \(S=\left\{x \in[0,2 \pi]:\left|\begin{array}{rrr}0 & \cos x & -\sin x \\ \sin x & 0 & \cos x \\ \cos x & \sin x & 0\end{array}\right|=0\right\}\) है, तो \(\sum_{x \in S} \tan \left(\frac{\pi}{3}+x\right)\) बराबर है 

वक्र \(y =\frac{1}{2} x ^{4}-5 x ^{3}+18 x ^{2}-19 x\) की अधिकतम प्रवणता निम्न में से किस बिंदु पर है ?

\(5\) इकाई त्रिज्या के दो वत्त एक दूसरे को बिन्दु \((1,2)\) पर स्पर्श करते हैं। यदि उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण \(4 x +3 y =10\) है तथा उनके केन्द्र \(C _{1}(\alpha, \beta)\) और \(C _{2}(\gamma, \delta), C _{1} \neq C _{2}\) हैं, तो \(|(\alpha+\beta)(\gamma+\delta)|\) बराबर हैं ........... |

यदि समीकरण निकाय \( 3x+y+4z=3 \), \( 2x+ay-z=-3 \), \( x+2y+z=4 \) का कोई हल नहीं है, तो a का मान ........... है।

एक स्कूल में \(25\) अध्यापकों की औसत आयु \(40\) वर्ष है। एक अध्यापक \(60\) वर्ष की आयु में सेवानिवत्त होती है तथा उसकी जगह एक नये अध्यापक की नियुक्ति होती है। यदि अब इस स्कूल में अध्यापकों की औसत आयु \(39\) वर्ष है, तो नये नियुक्त किए गए अध्यापक की आयु (वर्षो में) ........... है |