समीकरण \(\left(x^2-9 x+11\right)^2-(x-4)(x-5)=3\) के सभी परिमेय मूलों का गुणनफल = __________

यदि \(a , b\) तथा \(c\) तीन विभिन्न संख्यायें गुणोत्तर श्रेणी में है तथा \(a+b+c=x b\) हो, तो \(x\) का मान नहीं हो सकता है

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \sqrt{2} \mathrm{x}^3-3 \sqrt{2} \mathrm{x}-1\) द्वारा परिभाषित फलन \(\mathrm{f}:\left[\frac{1}{2}, 1\right] \rightarrow \mathrm{R}\) के लिए कथनों (\(I\)) वक्र \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{x}\)-अक्ष को मात्र एक बिंदु पर काटता है (\(II\)) वक्र \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{x}\)-अक्ष को \(\mathrm{x}=\cos \frac{\pi}{12}\) पर काटता है में से

एक खेल में दो खिलाड़ी \(A\) तथा \(B\) बारी बारी से अनभिनत पासों के युग्म को फेंकते हैं, जबकि खिलाड़ी \(A\) खेल आरम्भ करता है, तथा प्रत्येक बार दोनों पासों पर आए अंकों का योग नोट किया जाता है यदि \(B\) द्वारा फेंके गए पासों के अंको का योग \(7\) आने से पहले \(A\) द्वारा फेंके एक पासों के अंकों का योग \(6\) आ जाता है, तो \(A\) जीतता है जबकि \(A\) द्वारा फेंके गए पासों के अंकों का योग \(6\) आने से पहले, \(B\) द्वारा फेंके गए पासों के अंकों का योग \(7\) आ जाता है, तो \(B\) जीतता है। किसी भी एक खिलाड़ी का जीतने पर खेल समाप्त हो जाता है। \(A\) के खेल को जीतने की प्रायिक्रता है 

माना \(\alpha, \beta, \gamma\) समीकरण \(x ^{3}+ ax ^{2}+ bx + c =0\), \((a, b, c \in R\) तथा \(a, b \neq 0)\) के वास्तविक मूल हैं। यदि \(u , v , w\) में समीकरण निकाय \(\alpha u +\beta v +\gamma w =0\), \(\beta u+\gamma v+\alpha w=0 ; \gamma u+\alpha v+\beta w=0\) का अतुच्छ हल है, तो \(\frac{a^{2}}{b}\) का मान है

माना अतिपरवलय \(a^2 x^2-y^2=b^2\) की स्पर्श रेखा \(\lambda x -2 y =\mu\) है। तब \(\left(\frac{\lambda}{ a }\right)^2-\left(\frac{\mu}{ b }\right)^2\) बराबर है:

यदि \(\alpha+i \beta\) और \(\gamma+i \delta\) समीकरण \(x^2-(3-2 i) x-(2 i-2)=0, i=\sqrt{-1}\) के मूल हैं, तो \(\alpha \gamma+\beta \delta\) = __________

समीकरण \(32^{\tan ^{2} x}+32^{\sec ^{2} x}=81,0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\) के हलों की संख्या है

माना वक्र \(\mathrm{y}=\min \{\sin \mathrm{x}, \cos \mathrm{x}\}\) और \(\mathrm{x}\)-अक्ष से \(\mathrm{x}=-\pi\) से \(\mathrm{x}=\pi\) के बीच परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल \(\mathrm{A}\) है। तो \(\mathrm{A}^2\) = ...........

माना \(10 A.P.\), जिनके प्रथम पद \(1,2,3, \ldots, 10\) तथा आर्व अंतर क्रमशः \(1,3,5, \ldots, 19\) हैं, के \(12\) पदों का योग क्रमश: \(\mathrm{s}_1, \mathrm{~s}_2, \mathrm{~s}_3, \ldots, \mathrm{s}_{10}\) है। तो \(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{~s}_{\mathrm{i}}\) बराबर है

\(\alpha\) के लिए वह मान, जिनके लिए \(\left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2} & \alpha+\frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{3} & \alpha+\frac{1}{3} \\ 2 \alpha+3 & 3 \alpha+1 & 0\end{array}\right|=0\) है, किस अंतराल में है ?

यदि \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}+1}\) द्वारा परिभाषित फलन \(\mathrm{f}:(-\infty,-1] \rightarrow(\mathrm{a}, \mathrm{b}]\) एकैकी तथा आच्छादी है, तो रेखा \(x+e^{-3} y=4\) से बिंदु \(P(2 b+4, a+2)\) की दूरी ........... है।