फलन \(f(x)=|\sin 4 x|+|\cos 2 x|\) एक आवर्ति फलन है जिसका आवर्त काल है

यदि अतिपरवलय \(4 y ^{2}= x ^{2}+1\) पर खींची गई स्पर्शरिखाएँ निर्देशांक अक्षों को भिन्न बिंदुओं \(A\) तथा \(B\) पर काटती हैं, तो \(AB\) के मध्य्यबिंदु का बिंदुपथ है

माना \(\quad \overrightarrow{\mathrm{a}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\alpha \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{c}}=\beta \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}\), जहाँ \(\alpha\) और \(\beta\) पूर्णांक हैं और \(\alpha \beta=-6\)। क्रमित युग्म \((\alpha, \beta)\) के मान जिनके लिए विकर्णों \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{b}+\vec{c}\) वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) है, \(\left(\alpha_1, \beta_1\right)\) और \(\left(\alpha_2, \beta_2\right)\) हैं। तो \(\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2\) = ...........

`वक्र \(C :\left( x ^2+ y ^2-3\right)+\left( x ^2- y ^2-1\right)^5=0\), के बिंन्दु \((\alpha, \alpha), \alpha>0\), पर \(3 y^{\prime}-y^3 y^{\prime \prime}\), का मान बराबर है \(...........\)

यदि समीकरण \(x^2-x-1=0\) के मूल \(\alpha, \beta\) है तथा \(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2023 \alpha^{\mathrm{n}}+2024 \beta^n\) है, तो :

आव्यूहों \(A =\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\), जहाँ \(a , b , c , d \in\{-1,0,1,2,3, \ldots \ldots, 10\}\), हैं तथा \(A = A ^{-1}\) है, की संख्या है \(........\)

\(\lambda\) का धनात्मक मान, जिसके लिये व्यंजक \(x ^{2}\left(\sqrt{ x }+\frac{\lambda}{ x ^{2}}\right)^{10}\) में \(x ^{2}\) का गुणांक \(720\) है, होगा

अतिपरवलय \(H : x ^2- y ^2=1\) तथा दीर्घवृत \(E : \frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{ b ^2}=1, a > b > 0\) के लिए, माना \((1)\) \(E\) की उत्केन्द्रता, \(H\) की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रमणीय हैं, तथा \((2)\) रेखा \(y =\sqrt{\frac{5}{2}} x + K , E\) तथा \(H\) की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। तब \(4\left( a ^2+ b ^2\right)\) बराबर है

माना \(f: R -\{3\} \rightarrow R -\{1\}, f( x )=\frac{ x -2}{ x -3}\) द्वारा परिभाषित है। माना \(g : R \rightarrow R , g ( x )=2 x -3\) द्वारा दिया गया है। तो \(x\) के सभी मानों, जिनके लिए \(f^{-1}( x )+ g ^{-1}( x )=\frac{13}{2}\) है, का योगफल बराबर है

दी गई आकृति में \(\theta_1+\theta_2=\frac{\pi}{2}\) तथा \(\sqrt{3}(\mathrm{BE})=4(\mathrm{AB})\) है। यदि \(\triangle \mathrm{CAB}\) का क्षेत्रफल \(2 \sqrt{3}-3\) वर्ग इकाई है, जब \(\frac{\theta_2}{\theta_1}\) अधिकतम है, तो \(\triangle \mathrm{CED}\) का परिमाप (इकाई में) बराबर है :

\(f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^{2}+1}\right)\) का प्रक्षेत्र \((-\infty,-a] \cup[a, \infty]\) है तो \(a\) बराबर है

माना त्रिज्या \(4\) का एक वृत्त तथा दीर्घवृत्त \(15 \mathrm{x}^2+19 \mathrm{y}^2=285\) संकेन्द्री है, तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ दीर्घवृत्त के लघु अक्ष से कौन सा कोण बनाती है?ined to the minor axis of the ellipse at the angle.

\((1-x)^{2008}\left(1+x+x^2\right)^{2007}\) के प्रसार में \(x^{2012}\) का गुणांक ........... है।