नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन I: \(25^{13}+20^{13}+8^{13}+3^{13}\) 7 से विभाज्य है।
कथन II: \((7+4\sqrt{3})^{25}\) का पूर्णांक भाग एक विषम संख्या है।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए।

माना तीन सदिश \(\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}+\hat{j}+7 \hat{k}\) तथा \(\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}\) है। यदि एक सदिश \(\vec{p}\) के लिए \(\overrightarrow{\mathrm{p}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{p}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}}=0\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{p}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})\) = ...........

यदि संख्याओं \(2,3, a\) तथा \(11\) का मानक विचलन \(3.5\) है, तो निम्न में से कौन-सा सत्य है?

मान लीजिए कि M, कोटि \(3 \times 3\) के सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय है और मान लीजिए कि \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\) है। मान लीजिए कि
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) और \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
यदि \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), तो \(\alpha\) = ___

10 प्रेक्षणों के आँकड़ों का माध्य और प्रसरण क्रमशः 10 और 2 हैं। यदि इन आँकड़ों में एक प्रेक्षण \( \alpha \) को \( \beta \) से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो माध्य और प्रसरण क्रमशः 10.1 और 1.99 हो जाते हैं। तब \( \alpha+\beta \) का मान ___ है।

यदि \((10)^{9}+2(11)^{1}(10)^{8}+3(11)^{2}(10)^{7}+\ldots . . +10(11)^{9}=k(10)^{9}\) है, तो \(k\) बराबर है :

माना फलन \(f : R \rightarrow R\) इस प्रकार है कि \(f ( x )= x ^{3}+ x ^{2} f ^{\prime}(1)+ xf ^{\prime \prime}(2)+ f ^{\prime \prime \prime}(3), x \in R\) तो \(f(2)\) बराबर है

मान लीजिए कि \(f:[1, \infty) \rightarrow[2, \infty)\) एक अवकलनीय फलन है। यदि सभी \(\mathrm{x} \geq 1\) के लिए \(10 \int_1^{\mathrm{x}} f(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=5 \mathrm{x} f(\mathrm{x})-\mathrm{x}^5-9\) है, तो \(f(3)\) का मान क्या है?

यदि \(24 \int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\sin \left|4 x-\frac{\pi}{12}\right|+[2 \sin x]\right) \mathrm{d} x=2 \pi+\alpha\), जहाँ \([\cdot]\) महत्तम पूर्णांक फलन को निरूपित करता है, तो \(\alpha\) = ___

माना \(S =\{4,6,9\}\) तथा \(T =\{9,10,11, \ldots, 1000\}\) हैं। यदि \(A =\left\{ a _1+ a _2+\ldots+ a _{ k }: k \in N , a _1, a _2\right.\), \(\left.a_3, \ldots, a_k \in S\right\}\) है, तो समुच्चय \(T-A\) में सभी अवयवों का योग है \(..........।\)

एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके विफल होने के संयोग का दुगुना है। इस प्रयोग के \(6\) परीक्षणों में से कम से कम पाँच के सफल होने की प्रायिकता है

यदि सदिशों \(\hat{ i }+\lambda \hat{ j }+\hat{ k }, \hat{ j }+\lambda \hat{ k }\) तथा \(\lambda \hat{ i }+\hat{ k }\) द्वारा बनाये गये समान्तर षट्फलक (parallelopiped) का आयतन न्यूनतम है, तो \(\lambda\) बराबर है

माना \(D _{ k }=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 k & 2 k -1 \\ n & n ^2+ n +2 & n ^2 \\ n & n ^2+ n & n ^2+ n +2\end{array}\right|\).हैं। यदि \(\sum \limits_{ k =1}^n\) \(D _{ k }=96\)है, तो \(\mathrm{n}\) बराबर है ____________।