माना \(Z _{1}\) तथा \(Z _{2}\) दो सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हैं कि \(\arg \left( z _{1}- z _{2}\right)=\frac{\pi}{4}\) है तथा \(z _{1}, z _{2}\) समीकरण \(| z -3|\) \(=\operatorname{Re}( z )\) को सन्तुष्ट करते हैं। तो \(z _{1}+ z _{2}\) का काल्पनिक भाग है

एक स्कूल में तीन तरह के खेल खेले जाते है। कुछ छात्र दो तरह के खेल खेलते है, परन्तु कोई भी सभी तीन खेल नहीं खेलता। उपर्युक्त कथन को कौन से वेन आरेख दर्शाते है?

\(\int \limits_{-2}^{2}\left|3 x^{2}-3 x-6\right| d x\) का मान है ...........

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) में पदों की संख्या सम है; सभी विषम पदों का योग 24 है, सभी सम पदों का योग 30 है और अंतिम पद, प्रथम पद से \(\frac{21}{2}\) अधिक है। तो, समांतर श्रेढ़ी (A.P.) में पूर्णांक पदों की संख्या = __________

समुच्चय \(S = \left\{(r, k) : k \in \mathbb{Z} \text{ and } {}^{36}C_{r+1} = \dfrac{6\left({}^{35}C_r\right)}{(k^2 - 3)}\right\}\) में अवयवों की संख्या है:

माना \(3 \times 3\) के सभी आव्यूहों, जिनके अवयव \(\{-1\), 0,1 में से है, का समुच्चय \(S\) है। आव्यूहों \(A\) \(\in S\) जिनके लिए \(A ^{ T } A\) के विकर्ण के सभी अवयवों का योग 6 है, की कुल संख्या है \(..........\)

\(\mathrm{k} \in \mathbb{N}\) के लिए, यदि श्रेणी \(1+\frac{4}{\mathrm{k}}+\frac{8}{\mathrm{k}^2}+\frac{13}{\mathrm{k}^3}+\frac{19}{\mathrm{k}^4}+\ldots\) का योग \(10\) है, तो \(\mathrm{k}\) का मान है

यदि रेखाओं \(\frac{\mathrm{x}-\lambda}{2}=\frac{\mathrm{y}-4}{3}=\frac{\mathrm{z}-3}{4}\) और \(\frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}\) के बीच की न्यूनतम दूरी \(\frac{13}{\sqrt{29}}\) है, तो \(\lambda\) का एक मान ........... है।

यदि परवलय \(y ^{2}=2 x\) पर डाले गये तीन अभिलम्ब, बिंदु \((a, 0), a \neq 0\), से होकर जाते हैं, तो ' \(a\) ' निम्न में से किस से अधिक होना चाहिए ?

माना अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}\left(1+x y^2\left(1+\log _e x\right)\right), x>0, y(1)=3\) का हल \(\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x})\) है। तो \(\frac{\mathrm{y}^2(\mathrm{x})}{9}\) बराबर है। :

\(\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{N}\) के लिए, यदि \(\int\left(\left(\frac{x}{e}\right)^{2 x}+\left(\frac{e}{x}\right)^{2 x}\right) \log _e x d x=\frac{1}{\alpha}\left(\frac{x}{e}\right)^{\beta x}-\frac{1}{\gamma}\left(\frac{e}{x}\right)^{\delta x}+C\) है, जहाँ \(\mathrm{e}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{1}{\mathrm{n} !}\) तथा \(\mathrm{C}\) समाकलन अचर है, तो \(\alpha+2 \beta+3 \gamma-4 \delta\) बराबर है

माना \(P(3\cos\alpha, 2\sin\alpha)\), जहाँ \(\alpha \neq 0\), दीर्घवृत्त \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) पर एक बिंदु है, \(Q\) वृत्त \(x^2+y^2-14x-14y+82=0\) पर एक बिंदु है और \(R\) रेखा \(x+y=5\) पर एक बिंदु है इस प्रकार कि त्रिभुज \(PQR\) का केंद्रक \(\left(2+\cos\alpha, 3+\dfrac{2}{3}\sin\alpha\right)\) है। तो, \(R\) के सभी संभावित बिंदुओं की कोटियों का योग है: