माना समीकरण \(\mathrm{x}(\mathrm{x}+2)(12-\mathrm{k})=2\) के मूल समान हैं। तब बिंदु \(\left(\mathrm{k}, \frac{\mathrm{k}}{2}\right)\) की रेखा \(3 x+4 y+5=0\) से दूरी __________ है।

मान लीजिए कि \(e_1\) और \(e_2\) समीकरण \(x^2 - ax + 2 = 0\) के दो भिन्न मूल हैं। मान लीजिए कि समुच्चय \(\{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ और } e_2 \text{ अतिपरवलयों की उत्केंद्रताएं हैं}\} = (\alpha, \beta)\), और \(\{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ और } e_2 \text{ क्रमशः एक दीर्घवृत्त और एक अतिपरवलय की उत्केंद्रताएं हैं}\} = (\gamma, \infty)\) है। तो \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\) का मान है:

यदि \(\left(2 x ^{ I }+\frac{1}{ x ^{2}}\right)^{10}\) के द्विपद प्रसार में अचर पद \(180\) है तो \(r\) बराबर है ....... |

रेखाओं \(\frac{x-4}{4}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+3}{3}\) तथा \(\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{2}\) के बीच न्यूनतम दूरी है

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

माना \(\frac{1}{a}\) और \(\frac{1}{b}\) का समांतर माध्य \(\frac{5}{16}\) है, \(a>2\)। यदि \(\alpha\) इस प्रकार है कि \(a, 4, \alpha, b\) समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो समीकरण \(\alpha x^2-a x+2(\alpha-2 b)=0\) के मूल ___ होंगे।

माना \(f(x)\) एक \(5\) घात का बहुपद है और इसके चरम बिंदु \(x = 1\) तथा \(x = -1\) पर हैं। यदि \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{f(x)}{x^3}\right) = -5\) है, तो \(f(2) - f(-2)\) का मान बराबर है:

माना \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & \alpha \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\) एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है। माना \(f(x) = \int\limits_0^x (t^2 + 2t + 3)\,dt\), जहाँ \(x \in [1, \alpha]\) है। यदि \(M\) और \(m\) क्रमशः \([1, \alpha]\) में \(f\) के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं, तो \(3(M - m)\) बराबर है :

एक न्याय्य सिक्का \(n\) बार उछाला जाता है, जिसके लिए कम से कम एक चित आने की प्रायिकता कम से कम \(0.9\) है, तो \(n\) का न्यूनतम मान है ।

समीकरण \(x^2+(3-a) x+1=2 a\) के मूलों के वर्गों के योगफल का निम्नतम मान है :

माना \(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & , x \neq 0 \\ 0 & , x=0\end{array} ;\right.\) तो \(\mathrm{x}=0\) पर

यदि \([t]\) महत्तम पूर्णांक \(\leq t\) है, तो \(\int_0^1\left[2 x-\left|3 x^2-5 x+2\right|+1\right] d x\) का मान है-

एक अनभिनत पासे को तीन बार फेंक कर एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ निर्धारित की जाती है, तो त्रिभुज के अधिकतम क्षेत्रफल के होने की प्रायिकता, जब कि दिया है कि त्रिभुज समद्विबाहु है