माना समीकरण \(x^2-\sqrt{6} x+3=0\) के मूल \(\alpha, \beta\) है तथा \(\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)\) है। माना \(3\) से अभाज्य पूर्णांक \(a, b\) हैं तथा घन पूर्णांक \(n\) के लिए \(\frac{\alpha^{99}}{\beta}+\alpha^{98}=3^n(a+i b), i=\sqrt{-1}\) है। तो \(n+a+b\) = ...........

यदि शब्द "NAGPUR" के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए सभी सार्थक या निरर्थक शब्दों को शब्दकोश के अनुसार व्यवस्थित किया जाता है, तो इस व्यवस्था में \(315^{\text {th}}\) स्थान पर आने वाला शब्द ........... है।

मानT दो रेखाएँ \(\overrightarrow{ r }=\hat{ i }+\lambda(\hat{ i }+\hat{ j }), \lambda \in R\) तथा \(\overrightarrow{ r }=-\hat{ j }+\mu(\hat{ j }-\hat{ k }), \mu \in R\), एक समतल \(P\) पर स्थित हैं। यदि बिन्दु \(M (1,0,1)\) से समतल \(P\) पर डाले गए लम्ब का पाद, बिन्दु \(Q (\alpha, \beta, \gamma)\) है, तो \(3(\alpha+\beta+\gamma)\) बराबर है

माना \(S =\left\{\theta \in[-2 \pi, 2 \pi]: 2 \cos ^{2} \theta+3 \sin \theta=0\right\}\) है, तो \(S\) के अवयवों का योगफल है :

माना \(P\) बिंदु \(Q(10,-3,-1)\) से रेखा \(\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-2}\) पर डाले गए लंब का पाद है। तो समकोण त्रिभुज \(P Q R\) का क्षेत्रफल, जहाँ \(R\) बिंदु \((3,-2,1)\) है, वह ___ होगा।

माना \(E _{1}: \frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}+\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1, a > b\) एक दीर्घवत्त है। माना \(E _{2}\) एक और दीर्घवत्त है, जो \(E _{1}\) के दीर्घ अक्ष के छोरों को स्पर्श करता है तथा \(E_{2}\) की नाभियोँ, \(E_{1}\) के लघु अक्ष के छोरों पर है। यदि \(E _{1}\) तथा \(E _{2}\) की उत्केन्द्रता बराबर है, तो उसका मान है -

एक \(10 \,cm\) त्रिज्या वाली गोलाकार लोहे की गेंद को बर्फ की एक समान मोटाई वाली परत से लेप किया गया है, जो कि \(50 \,cm ^{3} / min\) की दर से पिघलती है। जब बर्फ की परत की मोटाई \(5 \,cm\) है, उस समय बर्फ की मोटाई के घटने की दर \(( cm / min\) में), है 

यदि रेखा \(\overrightarrow{ r }=(-\hat{ i }+3 k )+\lambda(\hat{ i }- a \hat{ j })\) तथा \(\overrightarrow{ r }=(-\hat{ j }+2 k )+\mu(\hat{ i }-\hat{ j }+ k )\) के मध्य न्यूनतम दूरी \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) है, तो \(a\) का पूर्णांक मान है

आँकड़ों के एक समूह में \(n\) प्रेक्षण : \(x _{1}, x _{2}, \ldots, x _{ n }\) हैं। यदि \(\sum_{ i =1}^{ n }\left( x _{ i }+1\right)^{2}=9 n\) तथा \(\sum_{ i =1}^{ n }\left( x _{ i }-1\right)^{2}=5 n\) है, तो इन आँकड़ों का मानक विचलन है 

एक क्षैतिज पार्क एक त्रिभुज \(OAB\) के आकार का है, जिसमें \(AB =16\) है। एक ऊर्ध्वाधर बिजली का खंभा \(OP\) बिन्दु \(O\) पर खड़ा है, \(\angle PAO =\angle PBO\) \(=15^{\circ}\) तथा \(\angle PCO =45^{\circ}\) हैं, जहाँ \(AB\) का मध्य बिंदु \(C\) है। तब \(( OP )^2\) बराबर है

\(\lambda\) के उन भिन्न मानों का योग, जिनके लिए समीकरण निकाय \((\lambda-1) x +(3 \lambda+1) y +2 \lambda z =0\) \((\lambda-1) x +(4 \lambda-2) y +(\lambda+3) z =0\) \(2 x +(3 \lambda+1) y +3(\lambda-1) z =0\) के शून्येतर (non-zero) हल हैं, है

बिंदुओं \((0,2)\) तथा \((0,-2)\) से होकर जाने वाले वृत्तों के निकाय का अवकल समीकरण है

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________