माना कि \( A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\} \) है। समुच्चय A पर एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित है कि xRy यदि और केवल यदि \( 2x+y \le 2 \) है। मान लीजिए \(l\) संबंध R में अवयवों की संख्या है। मान लीजिए m और n क्रमशः R को स्वतुल्य और सममित संबंध बनाने के लिए इसमें जोड़े जाने वाले अवयवों की न्यूनतम संख्याएँ हैं। तब \( l+m+n \) = ___ है।

यदि शब्द "NAGPUR" के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए सभी सार्थक या निरर्थक शब्दों को शब्दकोश के अनुसार व्यवस्थित किया जाता है, तो इस व्यवस्था में \(315^{\text {th}}\) स्थान पर आने वाला शब्द ........... है।

यदि \(a\) तथा \(b\) ऐसी वास्तवितक संख्याएँ है कि \((2+\alpha)^{4}=\) \(a + b \alpha\) है, जहाँ \(\alpha=\frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}\), है, तो \(a + b\) का मान है

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

यदि \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=m\) और \(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{99 \cdot 100}=\mathrm{n}\), तो बिंदु \((\mathrm{m}, \mathrm{n})\) किस रेखा पर स्थित है?

माना सम्मिश्र संख्या (z) के मुख्य कोणांक को \(\arg ( z )\) से दर्शाते है। तब \(| z |=3\) तथा \(\arg (z-1)-\arg (z+1)=\frac{\pi}{4}\) किस बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते है :

माना \(S_{n}=1 \cdot(n-1)+2 \cdot(n-2)+3 \cdot(n-3)+\ldots+\) \((n-1) \cdot 1, n \geq 4\) है तो \(\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{2 S_{n}}{n !}-\frac{1}{(n-2) !}\right)\) बराबर है

यदि एक बिन्दु \(P\) से बादल का उन्नयन कोण, जो झील से \(25\) मीटर ऊपर है, \(30^{\circ}\) है तथा बिन्दु \(P\) से झील में बादल के प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण \(60^{\circ}\) हो, तो झील के पृष्ठ से बादल की ऊँचाई (मीटर में) होगी

माना \(p , q\) तथा \(r ,( p \neq q , r \neq 0)\), वास्तविक संख्याएँ ऐसी हैं कि समीकरण \(\frac{1}{x+ p }+\frac{1}{x+ q }=\frac{1}{ r }\) के मूल बराबर तथा विपरीत चिन्हों के हैं, तो इन मूलों के वर्गों का योगफल बराबर है

निम्न चित्र में अनुपस्थित मान है ।

माना \(10\) प्रेक्षणों \(\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \ldots . \mathrm{a}_{10}\) के लिए \(\sum_{\mathrm{k}=1}^{10} \mathrm{a}_{\mathrm{k}}=50\) तथा \(\sum_{\forall k < j} a_k \cdot a_j=1100\) है। तो \(a_1, a_2, \ldots, a_{10}\) का मानक विचलन ........... है।

दो बार अवकलनीय फलन \(f(x)=\int \limits_0^x e^{x-t} f^{\prime}(t) d t-\left(x^2-x+1\right) e^x, x \in R\) का निम्नतम मान है :

\( (cos^{2}\theta-6sin\theta~cos\theta+3~sin^{2}\theta+2) \) का न्यूनतम मान ___ है।