माना \(f : R \rightarrow R\) एक अवकलनीय फलन इस प्रकार है कि \(f \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}, f \left(\frac{\pi}{2}\right)=0\) तथा \(f ^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\) तथा माना \(x \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\) के लिये \(g(x)=\int_x^{\pi / 4}\left(f^{\prime}(t) \sec t+\tan t \sec t f(t)\right) d t\) है। तब \(\lim _{ x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} g ( x )\) बराबर है

यदि \(\alpha \neq \mathrm{a}, \beta \neq \mathrm{b}, \gamma \neq \mathrm{c}\) और \(\left|\begin{array}{lll}\alpha & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\ \mathrm{a} & \beta & \mathrm{c} \\ \mathrm{a} & \mathrm{b} & \gamma\end{array}\right|=0\), तो \(\frac{a}{\alpha-a}+\frac{b}{\beta-b}+\frac{\gamma}{\gamma-c}\) = ...........

यदि रेखाएँ \(\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{2-\mathrm{y}}{-3}=\frac{\mathrm{z}-3}{\alpha}\) तथा \(\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{\beta}\) एक दूसरे को काटती हैं, तो\(8 \alpha \beta\) के न्यूनतम मान का परिमाण है_______

3 सड़े हुए सेब 15 अच्छे सेबों के साथ गलती से मिल गए हैं। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर \(x\) दो सेब निकालने पर सड़े हुए सेबों की संख्या है, तो \(x\) का प्रसरण ........... है।

वर्तमान में एक फर्म \(2000\) नग बना रही है। यह अनुमान लगाया गया है कि अतिरिक्त कामगारों की संख्या \(x\) के सापेक्ष उत्पादन \(P\) के परिवर्तन की दर \(\frac{d P}{d x}=100-12 \sqrt{x}\) द्वारा प्रदत्त है। यदि फर्म \(25\) कामगार अधिक लगाती है, तो नगों के उत्पादन का नया स्तर है।

परवलय \(y ^{2}=6 x\) पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है जो रेखा \(2 x + y =1\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौन सा बिंदु इस पर स्थित नहीं है?

फलन \(f(x)=\frac{4 x^{3}-3 x^{2}}{6}-2 \sin x+(2 x-1) \cos x\) :

माना \(\mathrm{C}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) केन्द्र के एक वृत्त पर दो भिन्न बिन्दु \(\mathrm{P}\left(\mathrm{a}_1, \mathrm{~b}_1\right)\) एवं \(\mathrm{Q}\left(\mathrm{a}_2, \mathrm{~b}_2\right)\) है। माना \(\mathrm{O}\) मूल बिन्दु है तथा \(\mathrm{OC}\), रेखाओं \(\mathrm{CP}\) एवं \(\mathrm{CQ}\) दोनों पर लम्बवत् है। यदि त्रिभुज \(OCP\) का क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{35}}{2}\) है तो \(\mathrm{a}_1^2+\mathrm{a}_2^2+\mathrm{b}_1^2+\mathrm{b}_2^2\) बराबर है___________.

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

परवलयों \(y^{2}=4 x\) तथा \(x^{2}=-32 y\) दोनों को स्पर्श करने वाली रेखा की प्रवणता है:

निम्न में से कौन सा अवकल समीकरण परवलयों के निकाय \(y ^{2}=4 a ( x + a )\) द्वारा संतुष्ट होता है?

माना \(x * y = x ^2+ y ^3\) तथा \(( x * 1) * 1= x *(1 * 1)\) है, तो \(2 \sin ^{-1}\left(\frac{x^4+x^2-2}{x^4+x^2+2}\right)\) का मान होगा

यदि रेखा \(\frac{2-x}{3}=\frac{3 y-2}{4 \lambda+1}=4-z\) रेखा \(\frac{x+3}{3 \mu}=\frac{1-2 y}{6}=\frac{5-z}{7}\) पर लंबवत है, तो \(4 \lambda+9 \mu\) = ...........