माना \(\Omega\) एक प्रतिदर्श समष्टि है तथा \(\mathrm{A} \subseteq \Omega\) एक घटना है। नीचे दो कथन दिए गए है: \((\mathrm{S} 1)\) : यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{A})=0\) है, तो \(\mathrm{A}=\phi\) है \((\mathrm{S} 2)\) : यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{A})=1\) है, तो \(\mathrm{A}=\Omega\) है तो

पहली \(50\) सम प्राकृत संख्याओं का प्रसरण है:

यदि \(a _1( >0), a _2, a _3, a _4, a _5\) गुणोत्तर श्रेणी में हो, \(a _2+ a _4=2 a _3+1\) तथा \(3 a _2+ a _3=2 a _4\) है, तो \(a _2+ a _4+2 a _5\) का मान होगा-

माना \(f(x)\) एक द्विघाती बहुपद है जिसका मुख्य-गुणांक 1 है तथा \(f (0)= p , p \neq 0\) और \(f (1)=\frac{1}{3}\) हैं। यदि समीकरणों \(f ( x )=0\) तथा \(fofofof (x)=0\) का एक उभयनिष्ठ वास्तविक मूल है, तो \(f(-3)\) बराबर है

मान लीजिए \(A\) एक \(3 \times 3\) आव्यूह इस प्रकार है कि \(A^T \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\2\\2\end{bmatrix}\), \(A^T \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\1\\1\end{bmatrix}\), \(A \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\4\\4\end{bmatrix}\) और \(A \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\3\\1\end{bmatrix}\)। यदि \(\det(A) = 1\) है, तो \(\det(\operatorname{adj}(A^2 + A))\) का मान बराबर है:

यदि \(\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\) में \(f ( x )=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{ x } \log _{ e }\left(\frac{1+3 x }{1-2 x }\right) & , x \neq 0 \\ k & , x =0\end{array}\right.\) द्वारा परिभाषित फलन \(f\) संतत हैं, तो \(k\) बराबर है

एक अनभिनत सिक्के को पाँच बार उछाला जाता है। माना, एक चर \(X\) को, \(k =3,4,5\) के लिए, मान \(k\) दिया जाता है तब सिक्के पर क्रमागत \(k\) चित्त आएं तथा अन्य सभी स्थितियों में \(X\) का मान \(-1\) है, तो \(X\) का अपेक्षित मान है

यदि \(y=\cos \left(\frac{\pi}{3}+\cos ^{-1} \frac{x}{2}\right)\) है, तो \((x-y)^2+3 y^2\) का मान ___ है।

माना एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम \(n\) पदों का योगफल \(S _{ n }\) है। यदि \(S _{3 n }=3 S _{2 n }\) है, तो \(\frac{ S _{4 n }}{ S _{2 n }}\) बराबर है

\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x)^{2}}{2 x \tan x-x \tan 2 x}\) बराबर है

माना तीन अशून्य सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=0\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}}{2}\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})\) बराबर है

माना \(\mathrm{O}\) मूल बिंदु है तथा बिंदु \(\mathrm{P}\) का स्थिथि सदिश \(-\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\) है। यदि बिंदुओं \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) तथा \(\mathrm{C}\) के स्थिति सदिशः \(-2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}, 2 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}\) तथा \(-4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}\) हैं, तो सदिशों \(\overrightarrow{A B}\) तथा \(\overrightarrow{A C}\) के लंबवत एक सदिश पर, सदिश \(\overrightarrow{O P}\) का प्रक्षेप है

माना यादृच्छिक चर \(\mathrm{X}\) के मान \(\mathrm{x}\) लेने की प्रायिकता \(\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{x})=\mathrm{k}(\mathrm{x}+1) 3^{-\mathrm{x}}, \mathrm{x}=0,1,2,3 \ldots\) है, जहाँ \(k\) एक अचर है, तो \(P(X \geq 2)\) बराबर है