माना \(C\) एक वक्र है जो \(y(x)=1+\sqrt{4 x-3}\), \(x>\frac{3}{4}\) द्वारा प्रदत्त है। यदि \(C\) पर \(P\) एक ऐसा बिंदु है कि \(P\) पर खींची गई स्पर्श रेखा की ढाल \(\frac{2}{3}\) है, तो वह बिंदु जिससे \(P\) पर खींचा गया अभिलंब गुज़रता है

मान लीजिए किसी G.P. के पहले तीन पद \(2, p\) और \(q\), जहाँ \(q \neq 2\), क्रमशः एक A.P. के \(7^{\text {th}}, 8^{\text {th}}\) और \(13^{\text {th}}\) पद हैं। यदि उस G.P. का \(5^{\text {th}}\) पद उस A.P. का \(\mathrm{n}^{\text {th}}\) पद है, तो \(\mathrm{n}\) = ...........

एक दीर्घवृत्त, अतिपरवलय \(9 x^{2}-4 y^{2}=36\) के नभिकेंद्रों से होकर जाता है तथा इसके दीर्घ तथा लघु अक्ष क्रमशः अतिपरवलय के अनुप्रस्थ तथा संयुग्मी अक्षों के अनुदिश हैं। यदि इन दो शांकवों की उत्केंद्रताओं का गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है, तो निम्न में से कौन-सा बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित नहीं है ?

रेखा, \(\frac{ x -3}{1}=\frac{ y -4}{2}=\frac{ z -5}{2}\) तथा समतल \(x + y + z =17\) के प्रतिच्छेदन बिन्दु की बिन्दु \((1,1,9)\) से दूरी है

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

माना रैखिक समीकरण \(x +2 y + z =2\), \(\alpha x +3 y - z =\alpha,-\alpha x + y +2 z =-\alpha\) असंगत है तो \(\alpha\) बराबर होगा।

मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है। भुजा AB पर चार बिंदु \(p _1, p _2\), \(p _3, p _4\), भुजा BC पर पांच बिंदु \(p _5, p _6, p _7, p _8, p _9\) और भुजा AC पर चार बिंदु \(p _{10}, p _{11}, p _{12}, p _{13}\) लीजिए। इन बिंदुओं में से कोई भी बिंदु त्रिभुज ABC का शीर्ष नहीं है। तब बिंदुओं \(p _1, p _2, \ldots . p _{13}\) से सभी शीर्षों को लेकर बनाए जा सकने वाले पंचभुजों की कुल संख्या ___ है।

मान लीजिए कि \(A B C D\) एक चतुष्फलक है इस प्रकार कि किनारे \(\mathrm{AB}, \mathrm{AC}\) और AD परस्पर लंबवत हैं। मान लीजिए कि त्रिभुजों \(\mathrm{ABC}, \mathrm{ACD}\) और ADB के क्षेत्रफल क्रमशः 5,6 और 7 वर्ग इकाई हैं। तो \(\triangle \mathrm{BCD}\) का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) = __________

यदि \(f(t)=\int_0^\pi \frac{2 x d x}{1-\cos ^2 \sin ^2 x}, 0 < t < \pi\), तो \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 d t}{f(t)}\) = ...........

माना दो बिंदुओ \(P\) तथा \(Q\) के स्थिति सदिश क्रमशः \(3 \hat{ i }-\hat{ j }+2 \hat{ k }\) तथा \(\hat{ i }+2 \hat{ j }-4 \hat{ k }\) हैं। माना दो बिंदु \(R\) तथा \(S\) इस प्रकार हैं कि रेखाओं \(PR\) तथा \(QS\) के दिक् अनुपात क्रमशः \((4,-1,2)\) तथा \((-2,1,-2)\) हैं। माना रेखाओं \(PR\) तथा \(QS\) का प्रतिच्छेदन बिंदु \(T\) है। यदि सदिश \(\overline{ TA }\), सदिशों \(\overline{ PR }\) तथा \(\overline{ QS }\) के लम्बवत है तथा \(\overrightarrow{ TA }\) सदिश \(\sqrt{5}\) की लम्बाई इकाई है, तो \(A\) के एक स्थिति सदिश का मापांक है 

यदि समीकरण निकाय \( x+(\sqrt{2} \sin \alpha) y+(\sqrt{2} \cos \alpha) z=0 \) \( x+(\cos \alpha) y+(\sin \alpha) z=0 \) \( x+(\sin \alpha) y-(\cos \alpha) z=0\) का एक अतुच्छ हल है, तो \(\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) = ........... है।

\(z \in C\), के लिए यदि \((|z-3 \sqrt{2}|+|z-p \sqrt{2} i|)\) का निम्नतम मान \(5 \sqrt{2}\), है, तो \(p\) का एक मान है \(..............\)

क्षेत्र \(\left\{(x, y): 0 \leq \mathrm{y} \leq 2|x|+1,0 \leq \mathrm{y} \leq x^2+1,|x| \leq 3\right\}\) का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है।