माना अवकलन समिकरण \(\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1, y(0)=1 \) का हल \(\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x})\) है, तो \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{y}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)^2\) = ...........

उन वृत्तों के केन्द्र, जो वृत्त \(x^{2}+y^{2}-8 x-8 y-4=0\) को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं तथा \(x\) -अक्ष को भी स्पर्श करते हैं, स्थित हैं:

\(\mathrm{x} \geq 0\), के लिए, \(\mathrm{K}\) का न्यूनतम मान, जिसके लिए \(4^{1+\mathrm{x}}+4^{1-\mathrm{x}}\), \(\frac{\mathrm{K}}{2}, 16^{\mathrm{x}}+16^{-\mathrm{x}}\) तीन क्रमागत पद एक समांतर श्रेणी में हैं, वह ........... है।

थैले \(A\) में \(2\) सफेद,\(1\) काली तथा \(3\) लाल गेंदे है तथा थैले \(B\) में \(3\) काली, \(2\) लाल तथा \(n\) सफेद गेंदे है। एक थैला यादृच्छया चुना जाता है तथा उसमें से यादृच्छिक रूप से \(2\) गेंदे निकाली जाती है जो \(1\) लाल तथा \(1\) काली पायी जाती है। यदि थैले \(A\) से दोनों के आने की प्रायिकता \(\frac{6}{11}\) है \(n\) बराबर है \(...............\)

माना \(\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5\}\)। माना \(\mathrm{A}\) पर एक संबंध \(\mathrm{R}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(x R y\) यदि और केवल यदि \(4 x \leq 5 y\)। माना \(\mathrm{R}\) में अवयवों की संख्या \(m\) है और \(\mathrm{A} \times \mathrm{A}\) से अवयवों की न्यूनतम संख्या \(n\) है जो \(\mathrm{R}\) को एक सममित संबंध बनाने के लिए जोड़ने आवश्यक हैं। तब \(m+n\) = ...........

यदि समीकरण \(x ^{2}+ bx +45=0,( b \in R )\) के संयुग्मी सम्मिश्र मूल हैं, जो \(|z+1|=2 \sqrt{10}\) को संतुष्ट करते हैं, तो

माना \(PQ\) परवलय \(y^{2}=-4 x\) की एक द्विकोटि (double ordinate) है, जबकि \(P\) द्वितीय चतुर्थांश में है। यदि \(R , PQ\) को \(2: 1\) के अनुपात में बांटता है, तो \(R\) का बिंदुपथ है

\( \alpha \) के सभी मानों का योग, जिनके लिए रेखाओं \( \frac{x+1}{\alpha}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-4}{-\alpha} \) और \( \frac{x}{\alpha}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2\alpha} \) के बीच की न्यूनतम दूरी \( \sqrt{2} \) है, वह ___ है।

माना \(f(x)=2^{10} \cdot x+1\) तथा \(g(x)=3^{10} \cdot x-11\) यदि \((f \circ g)(x)=x\) है, तो \(x\) बराबर है 

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

ऊपरी आधे निर्देशांक तल में वक्रों, \(x ^{2}+2 y -1=0\), \(y ^{2}+4 x -4=0\) तथा \(y ^{2}-4 x -4=0\) द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) बराबर है ........... |

मान लीजिए \(f(x) = \int \left(\dfrac{16x + 24}{x^2 + 2x - 15}\right) dx\)। यदि \(f(4) = 14 \log_e(3)\) और \(f(7) = \log_e(2^{\alpha} \cdot 3^{\beta})\) है, जहाँ \(\alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha + \beta\) का मान ज्ञात कीजिए:

अंकों \(1,1,2,2,2,3,4,4\) के प्रयोग से, आठ अंकीय संख्याएँ बनाई गई हैं। ऐसी संख्याओं की संख्या जिनमें विषम अंक विषम स्थानों पर न आयें, है